Una dimostrazione riguardo un'equazione differenziale

[Vicente2]

Sia y0(x) la soluzione del problema di Cauchy

y'= a(x)y
y(x0) =1
con a(x) funzione continua in [a,b] e x0 appartenente ad [a,b].dimostrare che l'integrale generale dell'equazione y'=a(x)y è dato da

y=c y0(x)
(Riporto anche la dimostrazione non chiara per me):

Si deve dimostrare che la generica soluzione y dell'equazione y'=a(x)y, è data da y(x) = c y0(x) , con c costante opportuna . Posto c = y (x0), le funzioni y(x) e cy0(x) sono entrambe soluzioni del problema di Cauchy

y'=a(x)y
y(x0) =c
e perciò per il teorema di unicità di Cauchy ,risulta y(x)=cy0(x) per ogni x appartenente ad [a,b] .

(non riesco a capire il senso di questa scrittura)!

[Luca.Lussardi]

Ti consiglio di riscrivere la matematica in mathml; oltre a questo non è chiaro cosa che funzione è $y_0$.

[Vicente2]

Allora ti ringrazio prima di tutto per l'attenzione,perchè nn ci speravo +,sono nuovo sul sito e vedevo tante persone consultare senza darmi risposta.
Non sono riuscito a scriverlo ancora cn MATHML,avevo provato cn word ma qst i risultati,uguale in pratica;ad ogni modo è tutto qui,con l'unica precisazione da fare,che gli zeri naturalmente sono dei pedici . Per il resto la dimostrazione nn contiene altre informazioni!



Sia $y_0(x)$ la soluzione del problema di Cauchy :

$y’ = a(x) y$
$y(x_0) = 1$

con $a(x)$ funzione continua in $[a,b]$ e $x_0 \in [a,b]$ . Dimostrare che l’integrale generale dell’equazione

$y’ = a(x) y$
è dato da

$y = c y_0(x)$




Dimostrazione : Si deve dimostrare che la generica soluzione $y$ dell’equazione $y’ = a(x)y$, è data da $y(x) = c y_0(x)$ , con $c$ costante opportuna . Posto $c = y(x_0)$ , le funzioni $y(x)$ e $cy_0(x)$ sono entrambe soluzioni del problema di Cauchy


$ y’ = a(x)y$
$y(x_0) = c$

e perciò , per il teorema di unicità di Cauchy , risulta $y(x)= cy_0(x)$ per ogni $x$ appartenente ad $[a,b]$ .

[Luca.Lussardi]

Te l'ho modificato io, riguarda come ho fatto guardando il codice.

Quanto alla matematica la dimostrazione è semplice, è solo il th di unicità della soluzioni... trovi due soluzioni quindi devono essere la stessa...

[Vicente2]

A dire il vero, è chiaro ciò che fa alla fine,usando il teorema di unicità di Cauchy;ciò che non mi è chiaro ancora, ma forse semplicemente nn riesco a vederlo ora come ora, è la dimostrazione all'inizio,quando da un problema di Cauchy passa all'altro con una condizione iniziale diversa dal primo, per dimostrare poi che la soluzione dell'equazione differenziale y' = a(x)y è data da c che moltiplica la soluzione particolare del primo problema di Cauchy! Ad ogni modo grazie per l'attenzione ancora!