Una dimostrazione per induzione sbagliata
Si vuole dimostrare per induzione che tutti gli studenti prendono lo stesso voto all'esame.
Il passo base è banale.
Passo induttivo. Ipotesi: un gruppo di $n$ studenti prende lo stesso voto all'esame. Tesi: vale per un gruppi da $n+1$.
Si dimostra prendendo un gruppo da $n+1$ studenti: $n$ hanno lo stesso voto, escludendo il primo; $n$ hanno lo stesso voto, escludendo l'ultimo; quindi tutti gli $n+1$ studenti hanno lo stesso voto.
L'esercizio ovviamente è capire perché questa dimostrazione è sbagliata. Credo ci siano 2 errori:
1) Si prende un insieme di cardinalità $n$ e si considera il successivo cardinale di un insieme di $n$ studenti, con $n in NN$, cioè non si considera il successivo di un studente.
2) Cosa vuol dire fare il successivo di uno studente? Il successivo di 1 è 2; di 2 è 3 e così via, cioè è un concetto che caratterizza $NN$. Gli studenti non stanno in $NN$, al massimo si possono numerare con elementi di $NN$, ma il concetto di "successivo di uno studente" non ha nessun senso. Quindi dimostrare questa cosa per induzione è sbagliato a prescindere.
Il passo base è banale.
Passo induttivo. Ipotesi: un gruppo di $n$ studenti prende lo stesso voto all'esame. Tesi: vale per un gruppi da $n+1$.
Si dimostra prendendo un gruppo da $n+1$ studenti: $n$ hanno lo stesso voto, escludendo il primo; $n$ hanno lo stesso voto, escludendo l'ultimo; quindi tutti gli $n+1$ studenti hanno lo stesso voto.
L'esercizio ovviamente è capire perché questa dimostrazione è sbagliata. Credo ci siano 2 errori:
1) Si prende un insieme di cardinalità $n$ e si considera il successivo cardinale di un insieme di $n$ studenti, con $n in NN$, cioè non si considera il successivo di un studente.
2) Cosa vuol dire fare il successivo di uno studente? Il successivo di 1 è 2; di 2 è 3 e così via, cioè è un concetto che caratterizza $NN$. Gli studenti non stanno in $NN$, al massimo si possono numerare con elementi di $NN$, ma il concetto di "successivo di uno studente" non ha nessun senso. Quindi dimostrare questa cosa per induzione è sbagliato a prescindere.
Risposte
No.
Stai guardando la possibilità concreta di fare qualcosa, non stai considerando la Matematica che c'è dietro.
Stai guardando la possibilità concreta di fare qualcosa, non stai considerando la Matematica che c'è dietro.
Quindi è sbagliata perché l'induzione si interrompe a $n=2$. Sia $P(n) =$ dato un gruppo di $n$ studenti, i suoi componenti prendono lo stesso voto all'esame; in questo caso non è vero che $P(1) => P(2)$. Siano ${A,B}$ gli $n+1$ studenti; $A$ prende lo stesso voto di se stesso, $B$ pure ma non è detto che $A$ e $B$ abbiano lo stesso voto, perché ${A}$ e ${B}$ sono disgiunti.
Però qual è l'errore logico alla base di questa dimostrazione? Io mi aspetto che, dimostrato il passo base e il passo induttivo, la dimostrazione sia corretta e quella proprietà sia vera sempre. Se in questo caso non è così c'è qualcosa di patologico che non ho ancora colto benissimo.
Però qual è l'errore logico alla base di questa dimostrazione? Io mi aspetto che, dimostrato il passo base e il passo induttivo, la dimostrazione sia corretta e quella proprietà sia vera sempre. Se in questo caso non è così c'è qualcosa di patologico che non ho ancora colto benissimo.
O forse è proprio dimostrare questo predicato con il ricoprimento a non andare bene, e il resto della dimostrazione era formalmente corretto.
qual è l'errore logico alla base di questa dimostrazione?Voler dedurre che, in un insieme di due cavalli \(\{b,n\}\), il colore di $b$ è lo stesso del colore di $n$ dal fatto che tutti i cavalli in \(\varnothing=\{b\}\cap\{n\}\) hanno lo stesso colore.
Ma se invece parto da $n=3$ e prendo 3 cavalli dello stesso colore, la dimostrazione per induzione andrebbe bene? In questo caso tralascio il caso $n=2$ e dimostro il passo base e il passo induttivo nello stesso modo in cui ho fatto precedentemente.
Forse in questo caso il passo base non può essere verificato perché i cavalli devono avere lo stesso colore per ogni terna di cavalli che posso considerare, e trovare un controesempio è immediato, quindi l'induzione non si applica.
Forse in questo caso il passo base non può essere verificato perché i cavalli devono avere lo stesso colore per ogni terna di cavalli che posso considerare, e trovare un controesempio è immediato, quindi l'induzione non si applica.
Il passo induttivo funziona a partire da $n=3$, ma questo non dimostra niente.
Il passo induttivo da $n=1$ a $n+1=2$ non funziona.
Perché il passo induttivo funzioni, da $n$ a $n+1$, è necessario che l'insieme dei "primi $n$ studenti" abbia intersezione non vuota con l'insieme degli "ultimi $n$ studenti". Questa intersezione è vuota quando $n=1$.
Quindi il passo induttivo da $n=1$ a $n+1=2$ non funziona e l'induzione non parte proprio.
Il passo induttivo da $n=1$ a $n+1=2$ non funziona.
Perché il passo induttivo funzioni, da $n$ a $n+1$, è necessario che l'insieme dei "primi $n$ studenti" abbia intersezione non vuota con l'insieme degli "ultimi $n$ studenti". Questa intersezione è vuota quando $n=1$.
Quindi il passo induttivo da $n=1$ a $n+1=2$ non funziona e l'induzione non parte proprio.
"HowardRoark":Così facendo sei entrato in un ospizio e hai "dimostrato per induzione" che tutte le persone sono vecchie.
Ma se invece parto da $n=3$ e prendo 3 cavalli dello stesso colore, la dimostrazione per induzione andrebbe bene? In questo caso tralascio il caso $n=2$ e dimostro il passo base e il passo induttivo nello stesso modo in cui ho fatto precedentemente.
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