Una curva particolare

[fireball1]

Considerate nel piano cartesiano la curva di equazione:
sqrt(x^2 + y^2) = (arctg(y/x))^2
Quanto misura la sua lunghezza?

[Studente Anonimo]

Il grafico della curva è :



In coordinate polari abbiamo (limitatamente a 0 <= teta <= pi/2 ):

ro = teta^2 .

Una rappresentazione parametrica della curva (limitatamente all'arco che giace nel primo quadrante) è :

x = ro * cos(teta)
y = ro * sin(teta)
ro = teta^2

quindi :

x = teta^2 * cos(teta)
y = teta^2 * sin(teta)

0 <= teta <= pi/2 .

Per calcolare la lunghezza della curva, basta integrare sull'arco del primo quadrante, quindi da 0 a pi/2 e moltiplicare per 4 .

L'integrale è facile. Io l'ho risolto numericamente e la lunghezza mi viene :

l = circa 11.250

Spero vada bene (l'ho fatto in fretta ...).

Bye.

[fireball1]

Bravissimo Arrigo, sei sempre er mejo [:D] !!
La lunghezza è 1/6 (sqrt((pi^2 + 16)^3) - 64), che,
approssimato con Derive, corrisponde a 11.26307071
Chiaramente pi = pi greco.
Sapresti calcolare anche l'area da essa delimitata?

[Studente Anonimo]

A = (2/5)*(pi/2)^5

... almeno spero.

Il procedimento è "classico". Limitandoci alla parte di superficie relativa la primo quadrante, basta trasformare in coordinate polari e si ottiene il dominio compreso fra l'arco della parabola

ro = teta^2 ,

l'asse delle teta (ascissa) ed il segmento verticale corrispondente a teta = pi/2 .

L'integrando su questo nuovo dominio è ovviamente lo Jacobiano ro.

Bye.

ps. grazie per il complimento, fire ! Mi piace cimentarmi in questo forum perchè così, fra giovani, ho l'occasione di imparare cose nuove e poi la mie mente ne troverà sicuramente giovamento ...

[fireball1]

Ok, il risultato è corretto!!!