Un uso (un po' troppo) disinvolto di Beppo Levi
Sia \( (X, \mathcal A, \mu ) \) uno spazio di misura ($\mu$ misura finita) e sia $(f_n)_n \subseteq L^1$ tale che
\[
\lim_{n} \int_X f_n d\mu = \alpha
\]
con $\alpha \in \mathbb R$ (o eventualmente infinito). Definisco \( g_n:= f_1 \vee \ldots \vee f_n \), dove $\vee$ denota il max.
Leggo che $(g_n)_n$ è una successione crescente (ok, no problem); subito dopo
E qui non ci siamo. D'accordo, per essere sinceri servirebbe che le $g_n$ fossero non negative, ma dovrebbe bastare il fatto che sono minorate da una funzione $L^1$ (e basta prendere $f_1$, no?); allora per Beppo Levi ho che $g:=\lim_n g_n \in L^1$ e $int_X gd\mu = \lim_n \int_X g_n d\mu$. Ma la cosa che non capisco è: perché
\[
\lim_n \int_X g_n d\mu= \alpha?
\]
Mi sento un po' stupido ma non riesco ad uscirne e sono un po' stanco... Idee? Grazie.
\[
\lim_{n} \int_X f_n d\mu = \alpha
\]
con $\alpha \in \mathbb R$ (o eventualmente infinito). Definisco \( g_n:= f_1 \vee \ldots \vee f_n \), dove $\vee$ denota il max.
Leggo che $(g_n)_n$ è una successione crescente (ok, no problem); subito dopo
[...] inoltre, $\lim_n \int_X g_n d\mu= \alpha$, dunque per Beppo Levi ho che $g:=\lim_n g_n \in L^1$ e vale $int_X gd\mu = \alpha$.
E qui non ci siamo. D'accordo, per essere sinceri servirebbe che le $g_n$ fossero non negative, ma dovrebbe bastare il fatto che sono minorate da una funzione $L^1$ (e basta prendere $f_1$, no?); allora per Beppo Levi ho che $g:=\lim_n g_n \in L^1$ e $int_X gd\mu = \lim_n \int_X g_n d\mu$. Ma la cosa che non capisco è: perché
\[
\lim_n \int_X g_n d\mu= \alpha?
\]
Mi sento un po' stupido ma non riesco ad uscirne e sono un po' stanco... Idee? Grazie.
Risposte
La conclusione a cui ti riferisci mi sembra falsa.
Prendi \(f_n = 1/n\) in \(L^1(0,1)\); hai che \(\lim_n \int_0^1 f_n = 0 =: \alpha\).
D'altra parte \(g_n = 1\) per ogni \(n\).
Prendi \(f_n = 1/n\) in \(L^1(0,1)\); hai che \(\lim_n \int_0^1 f_n = 0 =: \alpha\).
D'altra parte \(g_n = 1\) per ogni \(n\).
Ma appunto, hai proprio ragione, Rigel, ero arrivato qualche minuto fa alla tua stessa conclusione prendendo \(f_n(x)=\frac{x}{n}\).
E allora c'è qualcosa che non va nei miei appunti. Partiamo dal principio, cercherò di essere breve.
Voglio dimostrare Radon-Nikodym: sullo spazio misurabile $(X, \mathcal A)$ prendiamo due misure positive e finite, $\mu, \nu$, con \( \nu \ll \mu\); il claim è che esiste $f \in L^1$ (rispetto a $\mu$) tale che per ogni $E \in \mathcal A$ si abbia
\[
\nu(E) = \int_E f d\mu.
\]
Definiamo \( \mathscr C := \{f \in L_{\mu}^1: \forall E \in \mathcal A, \nu(E) \ge \int_E f d\mu \} \), che è non vuoto in quanto la funzione identicamente nulla vi appartiene. Considero ora
\[
\alpha:= \sup_{f \in \mathscr C} \int_X f d\mu
\]
e prendo una successione $(f_n) \subseteq C$ t.c. $\lim_n \int_X f_n d\mu = \alpha$. Ora definisco \( g_n:= f_1 \vee \ldots \vee f_n \) e ho che $ (g_n)_n $ è una successione crescente e \( g_n \in \mathscr C\) per ogni $n$ (questa ultima affermazione è semplice da verificare ma tecnica: preso $E$ misurabile, lo scrivo come unione disgiunta di $E_j$ di modo che $g_n$ su ogni $E_j$ coincida con $f_j$ e poi uso il fatto che \( f_j \in \mathscr C \) e l'additività). Dal fatto che \( (g_n)_n \in \mathscr C\) segue che
\[
\int_X g_n d\mu \le \alpha.
\]
Ora il pezzo incriminato:
Da qui in poi la strada sarebbe in discesa: la candidata $f$ sarebbe proprio la $g$ ed il fatto che il suo integrale su $X$ sia $\alpha$ è cruciale per concludere... Hai per caso capito dove sta il busillis? Grazie per la pazienza e l'aiuto.
E allora c'è qualcosa che non va nei miei appunti. Partiamo dal principio, cercherò di essere breve.
Voglio dimostrare Radon-Nikodym: sullo spazio misurabile $(X, \mathcal A)$ prendiamo due misure positive e finite, $\mu, \nu$, con \( \nu \ll \mu\); il claim è che esiste $f \in L^1$ (rispetto a $\mu$) tale che per ogni $E \in \mathcal A$ si abbia
\[
\nu(E) = \int_E f d\mu.
\]
Definiamo \( \mathscr C := \{f \in L_{\mu}^1: \forall E \in \mathcal A, \nu(E) \ge \int_E f d\mu \} \), che è non vuoto in quanto la funzione identicamente nulla vi appartiene. Considero ora
\[
\alpha:= \sup_{f \in \mathscr C} \int_X f d\mu
\]
e prendo una successione $(f_n) \subseteq C$ t.c. $\lim_n \int_X f_n d\mu = \alpha$. Ora definisco \( g_n:= f_1 \vee \ldots \vee f_n \) e ho che $ (g_n)_n $ è una successione crescente e \( g_n \in \mathscr C\) per ogni $n$ (questa ultima affermazione è semplice da verificare ma tecnica: preso $E$ misurabile, lo scrivo come unione disgiunta di $E_j$ di modo che $g_n$ su ogni $E_j$ coincida con $f_j$ e poi uso il fatto che \( f_j \in \mathscr C \) e l'additività). Dal fatto che \( (g_n)_n \in \mathscr C\) segue che
\[
\int_X g_n d\mu \le \alpha.
\]
Ora il pezzo incriminato:
[...] inoltre, $ \lim_n \int_X g_n d\mu= \alpha $, dunque per Beppo Levi ho che $ g:=\lim_n g_n \in L^1 $ e vale $ int_X gd\mu = \alpha $.
Da qui in poi la strada sarebbe in discesa: la candidata $f$ sarebbe proprio la $g$ ed il fatto che il suo integrale su $X$ sia $\alpha$ è cruciale per concludere... Hai per caso capito dove sta il busillis? Grazie per la pazienza e l'aiuto.
"Paolo90":
Definiamo \( \mathscr C := \{f \in L_{\mu}^1: \forall E \in \mathcal A, \nu(E) \ge \int_E f d\mu \} \), che è non vuoto in quanto la funzione identicamente nulla vi appartiene. Considero ora
\[
\alpha:= \sup_{f \in \mathscr C} \int_X f d\mu
\]
e prendo una successione $(f_n) \subseteq C$ t.c. $\lim_n \int_X f_n d\mu = \alpha$.
Il punto fondamentale è questo: \((f_n)\) non è una qualsiasi successione, ma una successione massimizzante in \(\mathcal{C}\).
Hai dunque \(\int_X g_n d\mu \leq \alpha\) e inoltre \(g_n\geq f_n\) per ogni \(n\).
Una volta che sai che esiste anche \(\lim_n\int_X g_n d\mu\), devi avere necessariamente
\[
\alpha = \lim_n \int_X f_n d\mu \leq \lim_n \int_X g_n d\mu \leq \alpha.
\]
Sono scemo, lo sapevo. La notte mi ha portato consiglio: certo, è tutto vero anche se l'ho scritto male sugli appunti.
Da un lato, è essenziale sapere che \((g_n)_n \subset \mathscr C\) cosicché
\[
\int_X g_n \le \alpha
\]
perché $\alpha$ è il sup e dunque passando al limite \( \lim_n \int_x g_n \le \alpha \). D'altra parte (ed ero proprio cieco per non avvedermene!) $g_n \ge f_n$ per ogni $n$. Per monotonia,
\[
\int_X g_n \ge \int_X f_n
\]
da cui passando al limite
\[
\lim_n \int_X g_n \ge \alpha.
\]
Infine Beppo Levi mi permette di portare il limite sotto il segno di integrale e ci siamo. E' corretto?
Grazie mille.
EDIT: ops, scusami abbiamo scritto in contemporanea. Dal tuo post, mi pare di capire che abbiamo detto le stesse cose; l'unica questione che sollevi a cui non ho dato esplicita risposta mi pare sia l'esistenza del limite $\lim_n \int g_n$, che però dovrebbe seguire immediatamente dalla monotonia della successione e dell'integrale. Ti ringrazio ancora.
Da un lato, è essenziale sapere che \((g_n)_n \subset \mathscr C\) cosicché
\[
\int_X g_n \le \alpha
\]
perché $\alpha$ è il sup e dunque passando al limite \( \lim_n \int_x g_n \le \alpha \). D'altra parte (ed ero proprio cieco per non avvedermene!) $g_n \ge f_n$ per ogni $n$. Per monotonia,
\[
\int_X g_n \ge \int_X f_n
\]
da cui passando al limite
\[
\lim_n \int_X g_n \ge \alpha.
\]
Infine Beppo Levi mi permette di portare il limite sotto il segno di integrale e ci siamo. E' corretto?
Grazie mille.
EDIT: ops, scusami abbiamo scritto in contemporanea. Dal tuo post, mi pare di capire che abbiamo detto le stesse cose; l'unica questione che sollevi a cui non ho dato esplicita risposta mi pare sia l'esistenza del limite $\lim_n \int g_n$, che però dovrebbe seguire immediatamente dalla monotonia della successione e dell'integrale. Ti ringrazio ancora.
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