Un teoremino sugli integrali
Denoto con $S_n$ il bordo della sfera $n$-dimensionale.
Sia $f:S_n->RR$ una funzione integrabile e $T:RR^n->RR^n$ una trasformazione ortogonale di $R^n$ (ovvero una trasformazione che conserva il modulo dei vettori. MOstrare che:
$\int_{S_n}f(x)dx = \int_{S_n}f(T(x))dx$
Sia $f:S_n->RR$ una funzione integrabile e $T:RR^n->RR^n$ una trasformazione ortogonale di $R^n$ (ovvero una trasformazione che conserva il modulo dei vettori. MOstrare che:
$\int_{S_n}f(x)dx = \int_{S_n}f(T(x))dx$
Risposte
Premesso che forse $T : \RR^n \to \RR^n$, io userei il Teorema del cambiamento di variabile per integrali multipli; prova a calcolare la matrice jacobiana di $T$, l'ipotesi dovrebbe dare informazioni su tale matrice.
d'accordo, ma come diamine si calcola?
Cioè: la sostituzione da fare è fuor di dubbio $y=T(x)$. Quindi $x=T^{-1}(y)$. Però non riesco a ricondurmi alla matrice di $T$ (o più probabilmente di $T^{-1}$) che ha determinante 1, perchè ortogonale (immagino sia questo l'obiettivo!).
Cioè: la sostituzione da fare è fuor di dubbio $y=T(x)$. Quindi $x=T^{-1}(y)$. Però non riesco a ricondurmi alla matrice di $T$ (o più probabilmente di $T^{-1}$) che ha determinante 1, perchè ortogonale (immagino sia questo l'obiettivo!).
Devi fissare una base (in realtà è già fissata quella canonica...). In quella base $T$ è rappresentato da una matrice ortogonale $U$.
Dunque, scrivi $y=U*x$ e lo Jacobiano è proprio $U$ ($x$ e $y$ sono le coordinate...).
Dunque, scrivi $y=U*x$ e lo Jacobiano è proprio $U$ ($x$ e $y$ sono le coordinate...).
ma sei sicura?
cioè, ci ho pensato subito che che poteva essere così... ma non ci credevo fosse così facile, anche perchè in realtà non vedevo perchè sparivano tutte le derivate dello Jacobiano... in realtà non lo vedo manco ora...
oddio quanto sono arrugginito!!
cioè, ci ho pensato subito che che poteva essere così... ma non ci credevo fosse così facile, anche perchè in realtà non vedevo perchè sparivano tutte le derivate dello Jacobiano... in realtà non lo vedo manco ora...
oddio quanto sono arrugginito!!
Beh, se fai un cambiamento di coordinate con una matrice ortogonale allora il modulo del determinante jacobiano è ovviamente $1$, da cui la formula per il Th del cambiamento di variabile.
sarò di coccio... ma non mi pare che tutto ciò sia ovvio. Potreste chiarirmelo per favore?
adesso mi hai messo un dubbio... però se non sbaglio è così
una trasformazione ortogonale è per definizione lineare, dunque la matrice che la rappresenta (una volta fissata la base) è costante...
una trasformazione ortogonale è per definizione lineare, dunque la matrice che la rappresenta (una volta fissata la base) è costante...
Eh sì, una trasformazione ortogonale è un'applicazione lineare invertibile a determinante $+-1$; ne segue che il suo differenziale è essa stessa, e quindi il modulo dello jacobiano vale $1$.
ok, però prima di tutto devo passare ad un integrale di volumee poi fare lì il cambio di variabile
Ma non sei sulla sfera? Non sei sulla superficie sferica, è già un integrale di volume, stai solo ruotando la sfera...
sono sulla superficie sferica... ho sbagliato a scrivere all'inizio... PERDONAMI!!
C'è un teorema analogo che dà il cambiamento di variabile anche per la misura di Hausdorff e non solo per quella di Lebesgue; in questo momento non ricordo esattamente se si può applicare con la stessa semplicità. Eventualmente parametrizzi la sfera, trasformi sull'integrale di volume e ritorni alla sfera, dovrebbe funzionare...
Vediamo se ho capito
denoto con $S_n$ il bordo della sfera unitaria $n$-dimensionale, con $B_n$ la palla aperta $n$-dimensionale e con $T$ la nostra trasformazione ortogonale.
si ha
$\int_{S_n}f(Tx)dx=n\int_{B_n}f((Tx)/(||Tx||))dx$
Faccio ora la sostituzione $(Tx)/(||Tx||)=y/(||y||)$ il cui determinante jacobiano è 1. Quindi
$=n\int_{B_n}f(y/(||y||))dy=\int_{S_n}f(y)dy$.
ci siamo?
denoto con $S_n$ il bordo della sfera unitaria $n$-dimensionale, con $B_n$ la palla aperta $n$-dimensionale e con $T$ la nostra trasformazione ortogonale.
si ha
$\int_{S_n}f(Tx)dx=n\int_{B_n}f((Tx)/(||Tx||))dx$
Faccio ora la sostituzione $(Tx)/(||Tx||)=y/(||y||)$ il cui determinante jacobiano è 1. Quindi
$=n\int_{B_n}f(y/(||y||))dy=\int_{S_n}f(y)dy$.
ci siamo?
Non ho capito: se tu fai un integrale di superficie, la formula dell'aera ti permette di calcolarlo come integrale di "volume" ma su un volume che ha la stessa dimensione della superficie; quindi se $S^n$ ha dimensione $n-1$, allora l'integrale deve risultare su un volume in $R^(n-1)$...
immagino che G******i M***a abbia DEFINITO l'integrale di una funzione sulla sfera unitaria di $RR^n$ $S_n:={x\in RR^n: ||x||=1}$ in questo modo (se non l'ha fatto è venuto meno ai propri principi... ;-P):
$\int_{S_n}g d\sigma (=\int_{S_n}g(y) d\sigma(y)) := n \int_{B_n}g(x/{||x||})dx$.
(Il motivo è di non introdurre la metrica Riemanniana sulla sfera...)
Se è così il procedimento di uber è chiaro.
$\int_{S_n}g d\sigma (=\int_{S_n}g(y) d\sigma(y)) := n \int_{B_n}g(x/{||x||})dx$.
(Il motivo è di non introdurre la metrica Riemanniana sulla sfera...)
Se è così il procedimento di uber è chiaro.
Non mi è chiaro il significato di quel fattore $n$...
Serve per "far tornare i conti": infatti in questo modo
$\int_{S_n}d\sigma = n \int_{B_n}dx = n \omega_n$
che è la stessa cosa che si otterrebbe facendo l'integrale di volume che suggerivi prima (cioè parametrizzando la sfera sopra $B_{n-1}={y\in RR^{n-1}: ||y||\le 1}$ come $x=(y,\pm\sqrt{1-||y||^2})$ per ogni $x\in S_n$).
$\int_{S_n}d\sigma = n \int_{B_n}dx = n \omega_n$
che è la stessa cosa che si otterrebbe facendo l'integrale di volume che suggerivi prima (cioè parametrizzando la sfera sopra $B_{n-1}={y\in RR^{n-1}: ||y||\le 1}$ come $x=(y,\pm\sqrt{1-||y||^2})$ per ogni $x\in S_n$).
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