Un teorema sulle serie?
Non ricordo (né al momento mi sovviene come dimostrare, nel caso sia vero) se in generale sussiste il seguente fatto.
Così, di primo acchitto, la cosa mi pare verosimile: infatti, pure prendendo una serie loffiamente convergente (cioè convergente in maniera schifosamente lenta) tipo \(\sum \frac{1}{n\ \ln n\ \ln^2 (\ln n)}\), si ha:
\[
\lim_{n\to \infty} n\ \frac{1}{n\ \ln n\ \ln^2 (\ln n)}=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\ln n\ \ln^2 (\ln n)} =0\; \ldots
\]
Tuttavia ho provato a dimostrare la cosa per assurdo, cioè supponendo che \(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} n\ a_n >0\)*, ma non ne ho cavato nulla.
Voi che dite?
P.S.: Molto probabilmente (anzi, quasi certamente) la questione è già stata trattata altre volte. Però non sono riuscito a trovare una chiave di ricerca utile a far balzare fuori il risultato che mi interessa...
__________
* Dato che il \(\displaystyle \liminf_{n\to \infty} n\ a_n \geq 0\), è evidente cha basta far vedere che \(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} n\ a_n =0\) per provare il teorema.
Se la serie a termini positivi \(\sum a_n\) è convergente, allora \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} n\ a_n=0\) (i.e., \(a_n\) è un \(\text{o}(1/n)\) per \(n\to \infty\)).
Così, di primo acchitto, la cosa mi pare verosimile: infatti, pure prendendo una serie loffiamente convergente (cioè convergente in maniera schifosamente lenta) tipo \(\sum \frac{1}{n\ \ln n\ \ln^2 (\ln n)}\), si ha:
\[
\lim_{n\to \infty} n\ \frac{1}{n\ \ln n\ \ln^2 (\ln n)}=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\ln n\ \ln^2 (\ln n)} =0\; \ldots
\]
Tuttavia ho provato a dimostrare la cosa per assurdo, cioè supponendo che \(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} n\ a_n >0\)*, ma non ne ho cavato nulla.
Voi che dite?
P.S.: Molto probabilmente (anzi, quasi certamente) la questione è già stata trattata altre volte. Però non sono riuscito a trovare una chiave di ricerca utile a far balzare fuori il risultato che mi interessa...
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* Dato che il \(\displaystyle \liminf_{n\to \infty} n\ a_n \geq 0\), è evidente cha basta far vedere che \(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} n\ a_n =0\) per provare il teorema.
Risposte
Senza ipotesi aggiuntive (tipo monotonia) mi sembra falso. Basta considerare, ad esempio, la serie di termine generale
\[
a_n :=
\begin{cases}
1/n, &\text{se}\ n = 2^k,\ k\in\mathbb{N},\\
0, & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]
\[
a_n :=
\begin{cases}
1/n, &\text{se}\ n = 2^k,\ k\in\mathbb{N},\\
0, & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]
"gugo82":Se la serie a termini positivi \(\sum a_n\) è convergente, allora \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} n\ a_n=0\) (i.e., \(a_n\) è un \(\text{o}(1/n)\) per \(n\to \infty\)).
[...]
__________
* Dato che il \(\displaystyle \liminf_{n\to \infty} n\ a_n \geq 0\) [...]
Secondo me si può dire di più: se \( \sum a_n \) è convergente allora \(\liminf_{n} na_n = 0\) (e questo mi ricorda un esercizio SISSA di qualche anno fa... [size=85]ormai li so quasi a memoria![/size]).
Per assurdo, supponi che \( \liminf na_n \ne 0\). Allora significa che esiste un \( \varepsilon>0\) tale che $na_n>\varepsilon$ definitivamente. Ma questo è assurdo, perché allora \( a_n > \frac{\varepsilon}{n}\) definitivamente e quindi per confronto $\sum a_n$ diverge.
Ti torna?
P.S. Per altro, nota che questo ragionamento non si può applicare per dimostrare quello che vuoi tu: infatti otterresti che la stima $na_n>\varepsilon$ vale solo frequentemente (non definitivamente) e questo non ti permette di concludere nulla sul comportamento di $\sum_n a_n$.
"Seneca":
https://www.matematicamente.it/forum/criterio-necessario-di-convergenza-per-le-serie-t74429.html
Comunque lo trovi sul Knopp.
Ecco... Sapevo di averlo letto da qualche parte qui, ma non riuscivo a trovarlo.
Grazie, Seneca.
P.S.: Leggendo ieri notte lo Knopp non l'ho trovato; cercherò meglio.
@gugo: cap. III, pag. 124, Teorema 80.
Trovato!
Tra l'altro, molto carina la dimostrazione.
Grazie a tutti.
Tra l'altro, molto carina la dimostrazione.
Grazie a tutti.
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