Un sottoinsieme di $L^1$

[fran881]

Dato $(X,\mathcal(A), mu)$ spazio di probabilità, ovvero $mu(X)=1$ e la funzione $phi: RR to RR$ tale che $phi(t)=t log^+t$ devo dimostrare che l'insieme $F={f in L^1(X,RR) : int_X phi@(|f|)d mu}$ è diverso da $L^1$. Con $log^+t$ si intende $max{0,logt}$.

Io ho provato a scrivere una funzione $L^1$ che non verifichi la condizione che definisce F però non riesco a concludere niente. Nota: tutto questo mi serve per dimostrare che F non è chiuso.
Suggerimenti? Grazie.

[gugo82]

"fran88":$F={f in L^1(X,RR) : int_X phi@(|f|)d mu}$

A occhio manca qualcosa...

[fran881]

Ops non me ne ero accorta. Correggo:
Dato $(X,\mathcal(A), mu)$ spazio di probabilità, ovvero $mu(X)=1$ e la funzione $phi: RR to RR$ tale che $phi(t)=t log^+t$ devo dimostrare che l'insieme $F={f in L^1(X,RR) : int_X phi@(|f|)d mu < infty}$ è diverso da $L^1$. Con $log^+t$ si intende $max{0,logt}$.

Io ho provato a scrivere una funzione $L^1$ che non verifichi la condizione che definisce F però non riesco a concludere niente. Nota: tutto questo mi serve per dimostrare che F non è chiuso.
Suggerimenti? Grazie.

[gugo82]

Forse potrebbe essere utile notare che $phi(t)<=t$ per $t<=e$; infatti ciò ti dice che:

$AA f in L^1, |f|<=e " q.o. "[mu] => \int_X \phi(|f|)" d"mu <=\int_x|f|" d"mu=||f||_1<+oo$,

quindi tutte le funzioni di $L^1$ che verificano la condizione $|f|<=e " q.o. "[mu]$ (ossia $||f||_oo<=e$) stanno in $F$.

Chiaramente, se vuoi trovare una funzione di $L^1$ che non stia in $F$ la devi cercare tra quelle che hanno $||f||_oo>e$.

Più di questo, al momento, non riesco a dirti.
Pensaci un po' sù, casomai condividi la soluzione che è un problema divertente.