Un sistema autonomo dispone sempre di una quantità conservata?

[lo_scrondo1]

Ciao a tutti,
forse questa domanda inerisce alla meccanica - spero comunque di averla postata correttamente qui:

Come da titolo, un sistema autonomo bidimensionale (dove autonomo = indipendente esplicitamente dal tempo) dispone sempre di una quantità conservata?

Prendiamo ad esempio un sistema caratterizzato da una forza dissipativa del tipo $(d^2 x)/(dt^2) = f(x(t), (dx)/(dt) (t))$ - al netto delle condizioni di regolarità, tale sistema dispone di un integrale primo?

Ho letto questa discussione: integrale-primo-di-una-ode-t89889.html , per cui credo che la risposta possa essere "si", ma attendo lumi..

Grazie anticipatamente!

[dissonance]

Non lo so, ma è una buona domanda. Ragionando fisicamente/geometricamente io direi di no. Per avere un integrale primo devi avere una formulazione Lagrangiana con simmetrie, in modo da poter applicare il principio di Noether. Oppure una formulazione Hamiltoniana, nel qual caso hai la conservazione dell'energia. Ma tu ti metti nel caso più generale possibile e secondo me ti esponi ad un possibile controesempio - che però non sono in grado di costruire.

[lo_scrondo1]

Grazie dissonance intanto.
Pur sapendo che nel caso di una forza dissipativa lineare dipendente solo dalla velocità è possibile trovare una costante del moto (che naturalmente non è l'energia), non riesco ad estendere l'approccio a forze "generali" come quella sopra.
Così a braccio, se prendiamo l'esempio del pendolo smorzato, esso non esibisce una dinamica caotica - per cui mi son detto che un integrale primo ci deve per forza essere.

[dissonance]

Io posso pure dirti cosa penso, ma sono chiacchiere provenienti da un non esperto. Nel caso del pendolo smorzato, io non mi aspetto un integrale primo, o almeno, non mi aspetto un integrale primo "naturale". Infatti ogni soluzione è asintoticamente nulla, e quindi ogni grandezza "naturale" (che so, energia, momento, momento angolare ...) si annulla per tempi grandi. Se fosse un integrale primo, dovrebbe essere identicamente nulla e questo è chiaramente falso.

Naturalmente, da qui a dimostrare formalmente che un integrale primo non c'è ce ne corre. Sospetto anche che questa non sia la sezione più appropriata del forum, più che ad un analista dovresti chiedere a un fisico oppure a un geometra che si occupa di calcolo globale. Secondo me puoi anche trovare la risposta sul libro di Olver, "Applications of Lie groups to Differential Equations" (o qualcosa del genere, non mi ricordo il titolo esatto).

Se trovi la risposta facci sapere! Queste cose mi interessano molto ma purtroppo non sono strettamente il mio campo.

[lo_scrondo1]

Sei gentile e disponibile come sempre. Grazie per le dritte. Sto guardando la cosa dal lato del teorema di Poincaré-Bendixson, ma Il libro di Olver l'avevo già (spasiba Rossia ), per cui ci guarderò.