Un Semplice Teorema Sulla Funzioni Continue
Salve,oggi,a scuola,per esercitarmi,ho provato a dimostrare un teorema sulle funzioni continue:"Se $f:X->Y$ è una funzione continua e biettiva allora $f^(-1):Y->X$ è continua".
Dimostrazione:
Prendiamo $A_1 \subset X$ e $A_2 \subset Y$ due aperti qualunque,e prendiamo una restrizione $f:A_1->A_2$(che sia ancora biettiva),poniamo $g:A_2->A_1$ uguale a $f^(-1):A_2->A_1$.Allora,$g^(-1)(A_1)=A_2$ e per definizione di continuità $g:A_2->A_1$ è continua,allora $f^(-1)$ è continua.
Se non vi dispiace,qualcuno potrebbe dirmi se la dimostrazione è o meno corretta?
Nel caso non lo fosse,qualcuno,potrebbe spiegarmi il perché?
Dimostrazione:
Prendiamo $A_1 \subset X$ e $A_2 \subset Y$ due aperti qualunque,e prendiamo una restrizione $f:A_1->A_2$(che sia ancora biettiva),poniamo $g:A_2->A_1$ uguale a $f^(-1):A_2->A_1$.Allora,$g^(-1)(A_1)=A_2$ e per definizione di continuità $g:A_2->A_1$ è continua,allora $f^(-1)$ è continua.
Se non vi dispiace,qualcuno potrebbe dirmi se la dimostrazione è o meno corretta?
Nel caso non lo fosse,qualcuno,potrebbe spiegarmi il perché?
Risposte
Non puoi prendere due aperti qualunque, il motivo è che il codominio devi sceglierlo ‘bene’.
Ovvero se $f:X->Y$ è una funzione allora puoi considerare per ogni sottoinsieme non vuoto $A_1subseteqX$ la sua immagine $f(A_1)$ e non puoi restringere il codominio a qualcosa di più piccolo di $f(A_1)$ poichè:
Supponiamo che $exists!y inf(A_1)existsx inA_1:f(x)=y$ non appena consideri $f:A_1->f(A_1)setminus{y}$ non hai più una funzione poiché l’elemento $x inA_1$ non ha più una immagine.
Sicuramente per restrizioni del dominio l’iniettivitá si mantiene.
Ma per avere la suriettività devi considerare $A_1subseteqX$ e considerare la restrizione di $f$ come $g:A_1->f(A_1)$ per cui sia $f(x)=g(x),forallx inA_1$ e questa è una funzione ancora biiettiva.
Ovvero se $f:X->Y$ è una funzione allora puoi considerare per ogni sottoinsieme non vuoto $A_1subseteqX$ la sua immagine $f(A_1)$ e non puoi restringere il codominio a qualcosa di più piccolo di $f(A_1)$ poichè:
Supponiamo che $exists!y inf(A_1)existsx inA_1:f(x)=y$ non appena consideri $f:A_1->f(A_1)setminus{y}$ non hai più una funzione poiché l’elemento $x inA_1$ non ha più una immagine.
Sicuramente per restrizioni del dominio l’iniettivitá si mantiene.
Ma per avere la suriettività devi considerare $A_1subseteqX$ e considerare la restrizione di $f$ come $g:A_1->f(A_1)$ per cui sia $f(x)=g(x),forallx inA_1$ e questa è una funzione ancora biiettiva.
grazie della risposta,per quanto riguarda quello che dici,anche se non l'ho scritto,quanto ho detto che $f$ fosse ancora biettiva,implicitamente,intendevo anche che $A_1$ e $A_2$ fossero isomorfi.
La definizione di continuità che stai cercando di usare è sbagliata... leggila, e ti renderai conto che la definizione giusta è diversa da quella che hai dato tu 
Per isomorfi si intende che $A_1,A_2$ abbiano qualche struttura.
Se sono semplicemente insiemi, si considerano ‘equipotenti’.
Se ci pensi l’immagine è l’unico insieme che ti dona la suriettivitá.
Ovvero se $f$ è iniettiva $forallA_1subseteqXexists!A_2subseteqY: g:A_1->A_2$ sia biettiva e tale insieme è $f(A_1)$
Sicuramente $A_2=f(A_1)subseteqY$ esiste poiché $g:A_1->f(A_1)$ è biiettiva.
Chiaramente puoi mostrare che $Bsubsetf(A_1)$ è troppo piccolo(non hai più una funzione) e $f(A_1)subsetC$ è troppo grande(non è suriettiva)
Inoltre la definizione corretta di continuità è la seguente:
Data $f:X->Y$ funzione tra spazi topologici $(X,T_1)$ e $(Y,T_2)$
edit: Lao mi ha preceduto
Se sono semplicemente insiemi, si considerano ‘equipotenti’.
Se ci pensi l’immagine è l’unico insieme che ti dona la suriettivitá.
Ovvero se $f$ è iniettiva $forallA_1subseteqXexists!A_2subseteqY: g:A_1->A_2$ sia biettiva e tale insieme è $f(A_1)$
Sicuramente $A_2=f(A_1)subseteqY$ esiste poiché $g:A_1->f(A_1)$ è biiettiva.
Chiaramente puoi mostrare che $Bsubsetf(A_1)$ è troppo piccolo(non hai più una funzione) e $f(A_1)subsetC$ è troppo grande(non è suriettiva)
Inoltre la definizione corretta di continuità è la seguente:
Data $f:X->Y$ funzione tra spazi topologici $(X,T_1)$ e $(Y,T_2)$
$f$ è continua in $X$ se $forallAinT_2,f^(leftarrow)(A)inT_1$
edit: Lao mi ha preceduto
"mklplo":
Salve,oggi,a scuola,per esercitarmi,ho provato a dimostrare un teorema sulle funzioni continue:"Se $f:X->Y$ è una funzione continua e biettiva allora $f^(-1):Y->X$ è continua".
Dimostrazione:
Prendiamo $A_1 \subset X$ e $A_2 \subset Y$ due aperti qualunque,e prendiamo una restrizione $f:A_1->A_2$(che sia ancora biettiva),poniamo $g:A_2->A_1$ uguale a $f^(-1):A_2->A_1$.Allora,$g^(-1)(A_1)=A_2$ e per definizione di continuità $g:A_2->A_1$ è continua,allora $f^(-1)$ è continua.
Se non vi dispiace,qualcuno potrebbe dirmi se la dimostrazione è o meno corretta?
Nel caso non lo fosse,qualcuno,potrebbe spiegarmi il perché?
Ciao,
ti propongo un (classico) esempio (di cui dovresti fare il grafico...)
$X=]-\infty; -1[\cup \{0\} \cup ]1; +\infty[$, $Y=\mathbb R$
(su $X$ e $Y$ la topologia è quella indotta dalla topologia euclidea su $\mathbb R$)
$f: X\to Y$, definita da $f(x):=x-sgn(x)$ per ogni $x\in X$
(il segno, $sgn(x)$, di $x$ è $-1$, $0$ o $1$ a seconda che $x$ sia, rispettivamente, negativo, nullo o positivo).
Puoi verificare che $f$ è biietiva (con inversa $g(y):=y+sgn(y)$ per ogni $y\in Y$) e continua, cosa puoi dire sulla continuità di $g=f^{-1}$?
Nota che il dominio $X$ di $f$ non è un intervallo...
EDIT
Scusa, ovviamente $X=]-\infty; -1[\cup \{0\} \cup ]1; +\infty[$ (gli estremi $-1$ e $1$ vanno esclusi...). Modifico il messaggio originale...
Grazie a tutti per le risposte.
@anto_zoolander:Hai ragione,che per surriettività,$A_2$ deve essere per forza l'immagine di $A_1$,infatti ho usato proprio questo per fare la dimostrazione(più che altro quanto intendevo qualunque mi riferivo ad $A_1$,dato che poi $A_2$ è univocamente determinate;la prossima volta che farò una dimostrazione controllerò bene la terminologia).
@Lao_Dan:Io non ho studiato ancora topologia,infatti non conosco una definizione che utilizza la nozione di spazi topologici,tuttavia sul forum mi è stato detto che una funzione è continua se la controimmagine di una aperto è un aperto.E' questo il motivo,per cui dimostro una cosa falsa,come ha detto alessio76?
@alessio76:Effettivamente,$g$ non è continua.Se non ti dispiace,potresti spiegarmi dove ho sbagliato?
@anto_zoolander:Hai ragione,che per surriettività,$A_2$ deve essere per forza l'immagine di $A_1$,infatti ho usato proprio questo per fare la dimostrazione(più che altro quanto intendevo qualunque mi riferivo ad $A_1$,dato che poi $A_2$ è univocamente determinate;la prossima volta che farò una dimostrazione controllerò bene la terminologia).
@Lao_Dan:Io non ho studiato ancora topologia,infatti non conosco una definizione che utilizza la nozione di spazi topologici,tuttavia sul forum mi è stato detto che una funzione è continua se la controimmagine di una aperto è un aperto.E' questo il motivo,per cui dimostro una cosa falsa,come ha detto alessio76?
@alessio76:Effettivamente,$g$ non è continua.Se non ti dispiace,potresti spiegarmi dove ho sbagliato?
Dato che non sai cos’è la topologia, devi fare le cose con calma.
Cosa sono $X$ d $Y$?
Cosa sono $A_1$ ed $A_2$? Dici “sono aperti”, ma sai che significa? Di quali proprietà godono?
Se non ti chiarisci ciò, qualunque tentativo di impostare una dimostrazione appare velleitario.
Cosa sono $X$ d $Y$?
Cosa sono $A_1$ ed $A_2$? Dici “sono aperti”, ma sai che significa? Di quali proprietà godono?
Se non ti chiarisci ciò, qualunque tentativo di impostare una dimostrazione appare velleitario.
Grazie per aver risposto.
Allora $X$ e $Y$ sono due insiemi "generici".Mi è stato detto sul forum che \( A \) è aperto in $X$ se \( \forall x\in A\exists r>0:B_r(x) \subset A \)(dove \( B_r(x) \) è l'insieme \( \{z\in X:|z-x|
Allora $X$ e $Y$ sono due insiemi "generici".Mi è stato detto sul forum che \( A \) è aperto in $X$ se \( \forall x\in A\exists r>0:B_r(x) \subset A \)(dove \( B_r(x) \) è l'insieme \( \{z\in X:|z-x|
@mklplo: “Mi è stato detto sul forum... “ is the new “mi ha detto mio cuggino...”.
Se non conosci le proprietà di base degli insiemi aperti, come pretendi di strutturare una dimostrazione formale usando tali insiemi?
Fai un caso facile: dimostra che se una funzione $f : [a, b] -> RR$ è continua ed invertibile in $[a, b]$, allora la funzione inversa $f^(-1)$ è anch’essa continua.
Per fare ciò, prova a seguire questo schema di ragionamento:
Se non conosci le proprietà di base degli insiemi aperti, come pretendi di strutturare una dimostrazione formale usando tali insiemi?
Fai un caso facile: dimostra che se una funzione $f : [a, b] -> RR$ è continua ed invertibile in $[a, b]$, allora la funzione inversa $f^(-1)$ è anch’essa continua.
Per fare ciò, prova a seguire questo schema di ragionamento:
[*:1w3ou30f] prova che l’immagine di $f$ è un intervallo compatto, diciamo $[m, M]$;
[/*:m:1w3ou30f]
[*:1w3ou30f] prova che $f$ è necessariamente monotòna in $[a, b]$;
[/*:m:1w3ou30f]
[*:1w3ou30f] supponi (per fissare le idee) che $f$ sia crescente e osserva che anche $f^(-1) : [m, M] -> [a, b]$ ha la stessa monotònia;
[/*:m:1w3ou30f]
[*:1w3ou30f] osserva che, stante la monotònia, $f^(-1)$ può avere unicamente un tipo di punti di discontinuità in $[m, M]$;
[/*:m:1w3ou30f]
[*:1w3ou30f] prova che $f^(-1)$ non può essere discontinua in $[m, M]$;
[/*:m:1w3ou30f]
[*:1w3ou30f] concludi.[/*:m:1w3ou30f][/list:u:1w3ou30f]
Grazie nuovamente per la risposta,penserò a quello che mi hai detto e appena mi verrà in mente,posterò la soluzione.Solo per curiosità,da quello che hai scritto sembra quasi che la condizione per cui $f^-1$ sia continua è che l'insieme di partenza sia compatto e connesso;ma è così oppure è solo un caso che riguarda le funzioni che hanno come codominio $RR$?
Come detto, questo è un caso facile.
La compattezza non è necessaria, basta pensare a tangente ed arcotangente.
La compattezza non è necessaria, basta pensare a tangente ed arcotangente.
Grazie per la risposta.
Ma se la compattezza no è necessaria,qual è la condizione che rende vera l'affermazione:"Se $f:X->Y$ è continua e biettiva allora $f^(-1)$ è continua?"(l'unica altra proprietà che mi viene in mente è il fatto che $X$ sia connesso,ma non so se sia quella la risposta giusta alla domanda).
Comunque per quanto riguarda la dimostrazione ecco cosa ho provato:
1)\(f([a,b])\) è compatto per via di un teorema(di cui non conosco il nome) che afferma che:"se $f$ è continua,l'immagine di un sottoinsieme compatto di $RR^n$ è a sua volta compatto in $RR^n$.
2)Dato che $f$ è iniettiva e continua,segue che è monotona.
3)Ora,per dimostrare che $f^-1$ è monotona,prendiamo $x_1,x_2 \in [a,b]$,con $x_1f(x_2))$,ora, \( f^{-1}(f(x_1))=x_1x_2=f^{-1}(f(x_2))) \) .Da qui segue che $f^-1$ è monotona crescente(decrescente)
4)dato che $f^-1$ è monotona,allora può avere solo punti di discontinuità di prima specie.
5)Per assurdo,prendiamo \( y_0\in f([a,b]) \) un punto di discontinuità, allora per quanto detto nel punto precedente $lim_(y->y_0^+)f^(-1)(y)=c$(con $c \in [a,b]$) e $lim_(y->y_0^-)f^(-1)(y)=h$(con $h \in [a,b]$ e $h \ne c$).
6)Dal punto 5 segue che \( f^{-1}(f([a,b]))=[a,h) \cup (c,b]\) il che è un assurdo,infatti dato che $f^-1$ è suriettiva allora \( f^{-1}(f([a,b]))=[a,b] \) .
7)Quindi,dal punto 6 deduciamo che $f^(-1)$ deve essere necessariamente continua.
Ma se la compattezza no è necessaria,qual è la condizione che rende vera l'affermazione:"Se $f:X->Y$ è continua e biettiva allora $f^(-1)$ è continua?"(l'unica altra proprietà che mi viene in mente è il fatto che $X$ sia connesso,ma non so se sia quella la risposta giusta alla domanda).
Comunque per quanto riguarda la dimostrazione ecco cosa ho provato:
1)\(f([a,b])\) è compatto per via di un teorema(di cui non conosco il nome) che afferma che:"se $f$ è continua,l'immagine di un sottoinsieme compatto di $RR^n$ è a sua volta compatto in $RR^n$.
2)Dato che $f$ è iniettiva e continua,segue che è monotona.
3)Ora,per dimostrare che $f^-1$ è monotona,prendiamo $x_1,x_2 \in [a,b]$,con $x_1
4)dato che $f^-1$ è monotona,allora può avere solo punti di discontinuità di prima specie.
5)Per assurdo,prendiamo \( y_0\in f([a,b]) \) un punto di discontinuità, allora per quanto detto nel punto precedente $lim_(y->y_0^+)f^(-1)(y)=c$(con $c \in [a,b]$) e $lim_(y->y_0^-)f^(-1)(y)=h$(con $h \in [a,b]$ e $h \ne c$).
6)Dal punto 5 segue che \( f^{-1}(f([a,b]))=[a,h) \cup (c,b]\) il che è un assurdo,infatti dato che $f^-1$ è suriettiva allora \( f^{-1}(f([a,b]))=[a,b] \) .
7)Quindi,dal punto 6 deduciamo che $f^(-1)$ deve essere necessariamente continua.
Scusate,qualcuno mi saprebbe dire se la dimostrazione del post precedente è fatta bene?
"anto_zoolander":
Non puoi prendere due aperti qualunque
...
bla bla bla
...
Semplicemente la proposizione è falsa.
https://math.stackexchange.com/q/68800/8157
@dissonance:grazie per aver risposto,comunque il fatto che la proposizione fosse falsa,l'avevo capito grazie alla risposta di alessio76.Se non ti dispiace,potresti vedere se la dimostrazione del fatto che :"se una funzione biettiva continua ha come dominio un intervallo e come codominio $RR$ allora la sua inversa è continua",è fatta bene?
Ciao mklplo,
gugo82 ti ha proposto un enunciato e una scaletta...hai tentato di seguirla, ma hai lasciato dei "buchi":
nel punto 2) dici : "2)Dato che f è iniettiva e continua,segue che è monotona.". Questa affermazione, che è uno degli ingredienti più importanti del teorema che stai cercando di dimostrare, va dimostrata...prova a scriverne una dimostrazione in dettaglio; più precisamente potresti provare a dimostrare il seguente enunciato:
"Sia $I$ un intervallo reale[nota]Si dimostra che un sottoinsieme $A$ della retta reale è connesso (nella topologia euclidea) se e solo se è un intervallo (rispetto all'ordine). Un sottoinsieme $I$ della retta reale è un intervallo (rispetto all'ordine) se ogniqualvolta $a,b\in I$ allora $c\in I$ per ogni $c\in\mathbb R$ tale che $a
Per capire meglio potresti anche pensare a (contro)esempi: funzioni non monotone, biiettive continue con inversa continua, definite su sottoinsiemi di $\mathbb R$ che non sono intervalli...ne sai esibire?
A questo punto puoi cercare di completare la scaletta che ti è stata proposta da gugo82, essenzialmente si tratta di dimostrare la continuità di $f^{-1}: f(I)\rightarrow I$ sapendo che $f^{-1}$ è (strettamente) monotona e che la sua immagine ($f^{-1}(f(I))=I$) è un intervallo[nota]Un enunciato "generale" potrebbe essere: "Se $g : A \rightarrow \mathbb R$ è monotona (anche solo debolmente...) su $A\subseteq \mathbb R$ e $g(A)$ è un intervallo, allora $g$ è continua."[/nota]...gugo82 ti ha proposto una strada nell'ipotesi semplificativa (ma non necessaria) $I=[a; b]$: ci hai provato in 5) e 6) ma dovresti, per lo meno, aggiungere alcune precisazioni...
gugo82 ti ha proposto un enunciato e una scaletta...hai tentato di seguirla, ma hai lasciato dei "buchi":
nel punto 2) dici : "2)Dato che f è iniettiva e continua,segue che è monotona.". Questa affermazione, che è uno degli ingredienti più importanti del teorema che stai cercando di dimostrare, va dimostrata...prova a scriverne una dimostrazione in dettaglio; più precisamente potresti provare a dimostrare il seguente enunciato:
"Sia $I$ un intervallo reale[nota]Si dimostra che un sottoinsieme $A$ della retta reale è connesso (nella topologia euclidea) se e solo se è un intervallo (rispetto all'ordine). Un sottoinsieme $I$ della retta reale è un intervallo (rispetto all'ordine) se ogniqualvolta $a,b\in I$ allora $c\in I$ per ogni $c\in\mathbb R$ tale che $a
Per capire meglio potresti anche pensare a (contro)esempi: funzioni non monotone, biiettive continue con inversa continua, definite su sottoinsiemi di $\mathbb R$ che non sono intervalli...ne sai esibire?
A questo punto puoi cercare di completare la scaletta che ti è stata proposta da gugo82, essenzialmente si tratta di dimostrare la continuità di $f^{-1}: f(I)\rightarrow I$ sapendo che $f^{-1}$ è (strettamente) monotona e che la sua immagine ($f^{-1}(f(I))=I$) è un intervallo[nota]Un enunciato "generale" potrebbe essere: "Se $g : A \rightarrow \mathbb R$ è monotona (anche solo debolmente...) su $A\subseteq \mathbb R$ e $g(A)$ è un intervallo, allora $g$ è continua."[/nota]...gugo82 ti ha proposto una strada nell'ipotesi semplificativa (ma non necessaria) $I=[a; b]$: ci hai provato in 5) e 6) ma dovresti, per lo meno, aggiungere alcune precisazioni...
@alessio76:grazie per la risposta,comunque il fatto che funzioni continue e iniettive siano strettamente monotone,già l'ho dimostrato in un altro post,perciò lo ritenevo superfluo;ma quali sono queste precisazioni a cui ti riferisci?
ecco la dimostrazione che una funzione continua e iniettiva è monotona(quando ho scritto il messaggio mi ero dimenticato che nel post in cui ho pubblicato per la prima volta dimostrazione,non avevo capito se la dimostrazione fosse o meno corretta):
ecco la dimostrazione che una funzione continua e iniettiva è monotona(quando ho scritto il messaggio mi ero dimenticato che nel post in cui ho pubblicato per la prima volta dimostrazione,non avevo capito se la dimostrazione fosse o meno corretta):
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