Un semplice integrale doppio, lo sto risolvendo facendo troppi calcoli?
leggo il forum da anni ma questa è la prima volta che scrivo come si vede dal contatore dei post, ciao a tutti e complimenti per la bella comunità 
pongo un quesito che immagino sia stupido, vediamo:
devo integrare la funzione $ f(x,y)=y $ sul dominio $ D = { (x,y) in RR^2 : abs(y)<=x , y>= x^2 -1 } $
rendo il dominio semplice rispetto a y e spezzo l'integrazione in due parti:
il dominio del primo integrale è delimitato verticalmente dalle funzioni $ g_1(y)=x$ , $ g_2(y)=x$, mentre orizzontalmente dall'origine e dall'intersezione nel quarto quadrante tra la parabola $ x^2 -1 $ e la retta $-x$, per simmetria tale integrale è nullo.
il dominio del secondo integrale va orizzontalmente dalla delimitazione destra del precedente integrale fino all'ascissa dell'intersezione nel primo quadrante della retta $x$ con la stessa di parabola di sopra, provo a risolvere questo integrale:
$ int_{-1/2 + sqrt(5)/2}^{1/2 + sqrt(5)/2} int_{x^2-1}^{x} y dy dx = 1/2 int_{-1/2 + sqrt(5)/2}^{1/2 + sqrt(5)/2} ( -x^4+3 x^2 -1) dx = 1/2 (-x^5/5 + x^3 -x)|_{-1/2 + sqrt(5)/2}^{1/2 + sqrt(5)/2} $
mi sono fermato qui perché proseguirei sviluppando la quinta potenza del binomio $ 1/2 + sqrt(5)/2 $, e mi sembra strano che siano previsti così tanti noiosi calcoli per questo che è uno di 6 esercizi di un esame di analisi 2, sto sbagliando qualcosa? o semplicemente l'obiettivo dell'esercizio è anche diventare pratici e veloci con questi calcoli?
un'immagine di questo intero dominio semplice rispetto a y da wolfram alpha: https://imgur.com/RG2YuM7
pongo un quesito che immagino sia stupido, vediamo:
devo integrare la funzione $ f(x,y)=y $ sul dominio $ D = { (x,y) in RR^2 : abs(y)<=x , y>= x^2 -1 } $
rendo il dominio semplice rispetto a y e spezzo l'integrazione in due parti:
il dominio del primo integrale è delimitato verticalmente dalle funzioni $ g_1(y)=x$ , $ g_2(y)=x$, mentre orizzontalmente dall'origine e dall'intersezione nel quarto quadrante tra la parabola $ x^2 -1 $ e la retta $-x$, per simmetria tale integrale è nullo.
il dominio del secondo integrale va orizzontalmente dalla delimitazione destra del precedente integrale fino all'ascissa dell'intersezione nel primo quadrante della retta $x$ con la stessa di parabola di sopra, provo a risolvere questo integrale:
$ int_{-1/2 + sqrt(5)/2}^{1/2 + sqrt(5)/2} int_{x^2-1}^{x} y dy dx = 1/2 int_{-1/2 + sqrt(5)/2}^{1/2 + sqrt(5)/2} ( -x^4+3 x^2 -1) dx = 1/2 (-x^5/5 + x^3 -x)|_{-1/2 + sqrt(5)/2}^{1/2 + sqrt(5)/2} $
mi sono fermato qui perché proseguirei sviluppando la quinta potenza del binomio $ 1/2 + sqrt(5)/2 $, e mi sembra strano che siano previsti così tanti noiosi calcoli per questo che è uno di 6 esercizi di un esame di analisi 2, sto sbagliando qualcosa? o semplicemente l'obiettivo dell'esercizio è anche diventare pratici e veloci con questi calcoli?
un'immagine di questo intero dominio semplice rispetto a y da wolfram alpha: https://imgur.com/RG2YuM7
Risposte
Ciao qwertyce,
Benvenuto sul forum!
Non sono entrato nel merito dell'integrale doppio, ma osserverei che gli estremi di integrazione che hai scritto sono il numero aureo o sono con esso strettamente imparentati:
$\varphi = frac{1 + sqrt{5}}{2} $
$ \varphi - 1 = frac{- 1 + sqrt{5}}{2} = 1/\varphi $
Sussistono delle simpatiche relazioni che ti possono semplificare la vita che puoi trovare ad esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea
In particolare mi soffermerei sulla seguente:
$\varphi^n - \varphi^{n - 1} - \varphi^{n - 2} = 0 $
$\AA n \ge 2 $
Benvenuto sul forum!
Non sono entrato nel merito dell'integrale doppio, ma osserverei che gli estremi di integrazione che hai scritto sono il numero aureo o sono con esso strettamente imparentati:
$\varphi = frac{1 + sqrt{5}}{2} $
$ \varphi - 1 = frac{- 1 + sqrt{5}}{2} = 1/\varphi $
Sussistono delle simpatiche relazioni che ti possono semplificare la vita che puoi trovare ad esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea
In particolare mi soffermerei sulla seguente:
$\varphi^n - \varphi^{n - 1} - \varphi^{n - 2} = 0 $
$\AA n \ge 2 $
grazie per il benvenuto pilloeffe!
provo ad andare avanti col tuo suggerimento.
proseguo dall'ultimo passaggio del mio precedente post riscrivendo gli indici di integrazione come $\varphi$ e $\varphi-1$:
$ = 1/2(-x^5/5 + x^3 -x) \|_{\varphi-1}^{\varphi} \=$
sostituisco gli indici di integrazione nella primitiva, e sviluppo il cubo di $\varphi-1$:
$= 1/2(- \varphi^5/5+ \varphi^3-\varphi+ ((\varphi-1)/5)^5-\varphi^3+1+\varphi^2-\varphi+\varphi-1)=$
tra semplificazioni di termini opposti e l'applicazione della relazione $\varphi^2 - \varphi^1 - 1 = 0$ da te menzionata ottengo:
$=1/2( - \varphi^5/5+ ((\varphi-1)/5)^5 +1) $
ora devo sviluppare la quinta potenza tramite il binomio di newton, o mi volevi suggerire un modo tramite le proprietà del numero aureo per evitare questa operazione?
operando in modo diverso, cioè sfruttando a questo punto $\varphi-1 = 1/\varphi$ , mi sembra di andare a complicare le cose dato che arrivo a un $ = (-\varphi^10 \ 5^4 + 5^5 \varphi^5 +1) /( 2 \ 5^5 \varphi^5) $ che mi induce a non proseguire per questa via.
Da wolframalpha il risultato finale dovrebbe venire un semplice $2/5$
Avendo sostenuto l'esame di analisi 1 ormai ben 7 anni fa, a parte una parentesi nel mezzo con i semplici calcoli dell'algebra lineare, riprendendo ora sto trovando lo studio affascinante quanto arduo, come si può dedurre dalla facilità con cui mi perdo con questi calcoli elementari
provo ad andare avanti col tuo suggerimento.
proseguo dall'ultimo passaggio del mio precedente post riscrivendo gli indici di integrazione come $\varphi$ e $\varphi-1$:
$ = 1/2(-x^5/5 + x^3 -x) \|_{\varphi-1}^{\varphi} \=$
sostituisco gli indici di integrazione nella primitiva, e sviluppo il cubo di $\varphi-1$:
$= 1/2(- \varphi^5/5+ \varphi^3-\varphi+ ((\varphi-1)/5)^5-\varphi^3+1+\varphi^2-\varphi+\varphi-1)=$
tra semplificazioni di termini opposti e l'applicazione della relazione $\varphi^2 - \varphi^1 - 1 = 0$ da te menzionata ottengo:
$=1/2( - \varphi^5/5+ ((\varphi-1)/5)^5 +1) $
ora devo sviluppare la quinta potenza tramite il binomio di newton, o mi volevi suggerire un modo tramite le proprietà del numero aureo per evitare questa operazione?
operando in modo diverso, cioè sfruttando a questo punto $\varphi-1 = 1/\varphi$ , mi sembra di andare a complicare le cose dato che arrivo a un $ = (-\varphi^10 \ 5^4 + 5^5 \varphi^5 +1) /( 2 \ 5^5 \varphi^5) $ che mi induce a non proseguire per questa via.
Da wolframalpha il risultato finale dovrebbe venire un semplice $2/5$
Avendo sostenuto l'esame di analisi 1 ormai ben 7 anni fa, a parte una parentesi nel mezzo con i semplici calcoli dell'algebra lineare, riprendendo ora sto trovando lo studio affascinante quanto arduo, come si può dedurre dalla facilità con cui mi perdo con questi calcoli elementari
I calcoli elementari sono una cosa molto importante e non tutti sanno farli.
Comunque una maniera di semplificare il problema è usare il teorema della divergenza (o la formula di Stokes, se preferisci le forme differenziali). Si ha che
\[
\iint_D y\, dxdy = \oint_{\partial D} -\frac{y^2}{2}\, dx, \]
e l'integrale a destra è più semplice da calcolare.
Comunque una maniera di semplificare il problema è usare il teorema della divergenza (o la formula di Stokes, se preferisci le forme differenziali). Si ha che
\[
\iint_D y\, dxdy = \oint_{\partial D} -\frac{y^2}{2}\, dx, \]
e l'integrale a destra è più semplice da calcolare.
Un'altra cosa che potrebbe essere utile è una rotazione di 45° in senso antiorario:
\[
\begin{cases} x=\frac{1}{\sqrt 2}(X+Y) \\ y=\frac{1}{\sqrt 2}(X-Y).\end{cases}
\]
Con questa trasformazione la condizione \(|y|\le x\) diventa \(X\ge 0, Y\ge 0\) (più facile da vedere graficamente che analiticamente). Purtroppo però la condizione \(y\ge x^2-1\) diventa una porcheria.
Comunque non mi sembra un problema molto facile, perché c'è poca simmetria.
\[
\begin{cases} x=\frac{1}{\sqrt 2}(X+Y) \\ y=\frac{1}{\sqrt 2}(X-Y).\end{cases}
\]
Con questa trasformazione la condizione \(|y|\le x\) diventa \(X\ge 0, Y\ge 0\) (più facile da vedere graficamente che analiticamente). Purtroppo però la condizione \(y\ge x^2-1\) diventa una porcheria.
Comunque non mi sembra un problema molto facile, perché c'è poca simmetria.
Capisco che siamo nell'era di WolframAlpha e degli altri software online, ma ascoltate un vecchietto: ogni tanto, riprendete in mano carta e penna... 
$ 1/2 {-1/5 [x^5]_{\varphi - 1}^{\varphi} + [x^3 - x]_{\varphi - 1}^{\varphi}} = 1/2 {-1/5 [\varphi^5 - (\varphi - 1)^5] + \varphi^3 - \varphi - (\varphi - 1)^3 +\varphi - 1} = $
$ = 1/2 {-1/5 [5\varphi^4 - 10 \varphi^3 + 10 \varphi^2 - 5\varphi + 1] + 3\varphi^2 - 3\varphi} = $
$ = 1/2 [-\varphi^4 + 2 \varphi^3 - 2 \varphi^2 + \varphi - 1/5 + 3\varphi^2 - 3\varphi] = 1/2 [-\varphi^4 + 2 \varphi^3 + \varphi^2 - 2\varphi - 1/5] = $
$ = 1/2 [-\varphi^4 + \varphi^3 + \varphi^3 + \varphi^2 - 2 \varphi - 1/5] = 1/2 [-\underbrace{(\varphi^4 - \varphi^3 - \varphi^2)}_{= 0} + \varphi^3 - 2\varphi - 1/5] = $
$ = 1/2 [\varphi^3 - \varphi - \varphi - 1/5] = 1/2 [\varphi(\varphi^2 - 1) - \varphi - 1/5] = 1/2 [\varphi \cdot \varphi - \varphi - 1/5] = $
$ = 1/2 [\underbrace{\varphi^2 - \varphi - 1}_{= 0} + 1 - 1/5] = 1/2 [4/5] = 2/5 $
$ 1/2 {-1/5 [x^5]_{\varphi - 1}^{\varphi} + [x^3 - x]_{\varphi - 1}^{\varphi}} = 1/2 {-1/5 [\varphi^5 - (\varphi - 1)^5] + \varphi^3 - \varphi - (\varphi - 1)^3 +\varphi - 1} = $
$ = 1/2 {-1/5 [5\varphi^4 - 10 \varphi^3 + 10 \varphi^2 - 5\varphi + 1] + 3\varphi^2 - 3\varphi} = $
$ = 1/2 [-\varphi^4 + 2 \varphi^3 - 2 \varphi^2 + \varphi - 1/5 + 3\varphi^2 - 3\varphi] = 1/2 [-\varphi^4 + 2 \varphi^3 + \varphi^2 - 2\varphi - 1/5] = $
$ = 1/2 [-\varphi^4 + \varphi^3 + \varphi^3 + \varphi^2 - 2 \varphi - 1/5] = 1/2 [-\underbrace{(\varphi^4 - \varphi^3 - \varphi^2)}_{= 0} + \varphi^3 - 2\varphi - 1/5] = $
$ = 1/2 [\varphi^3 - \varphi - \varphi - 1/5] = 1/2 [\varphi(\varphi^2 - 1) - \varphi - 1/5] = 1/2 [\varphi \cdot \varphi - \varphi - 1/5] = $
$ = 1/2 [\underbrace{\varphi^2 - \varphi - 1}_{= 0} + 1 - 1/5] = 1/2 [4/5] = 2/5 $
Bravo pilloeffe. Qua era proprio questione di conti, non c'era tanto da girarci intorno.
Che poi non è una cosa così mostruosa la quinta potenza di un binomio, carta e penna e calcolare, grazie a entrambi per l'aiuto.
In molti testi d'esame c'è un integrale doppio o triplo di questo tipo con calcoli abbondanti, pensavo fossi io a complicarmi la vita e invece evidentemente è anche obiettivo dell'esercizio valutare la dimestichezza con i calcoli.
In molti testi d'esame c'è un integrale doppio o triplo di questo tipo con calcoli abbondanti, pensavo fossi io a complicarmi la vita e invece evidentemente è anche obiettivo dell'esercizio valutare la dimestichezza con i calcoli.
"qwertyce":
Che poi non è una cosa così mostruosa la quinta potenza di un binomio, carta e penna e calcolare, grazie a entrambi per l'aiuto.
Io non ho fatto niente. Le due trasformazioni che ho suggerito non sono sbagliate, ma gira e volta portano sempre agli stessi calcoli, perché aggiustano qualcosa e guastano qualcos'altro. In generale, i cambiamenti di variabile del tipo del mio secondo post semplificano il problema se sfruttano della simmetria. Mentre l'uso del teorema della divergenza potrebbe semplificare il problema perché lo fa scendere di una dimensione, ma non è detto che l'integrale di linea sia più facile da risolvere.
Sono comunque cose da tenere a mente e da provare, se riescono possono fare risparmiare tempo e fatica. *Se* riescono.
"dissonance":
Bravo pilloeffe.
Grazie dissonance!
"qwertyce":
grazie a entrambi per l'aiuto.
Prego.
"qwertyce":
In molti testi d'esame c'è un integrale doppio o triplo di questo tipo con calcoli abbondanti, pensavo fossi io a complicarmi la vita e invece evidentemente è anche obiettivo dell'esercizio valutare la dimestichezza con i calcoli.
"dissonance":
I calcoli elementari sono una cosa molto importante e non tutti sanno farli.
D'accordissimo con dissonance.
Il mio professore di Analisi Matematica II (pace all'anima sua...) nella prova scritta assegnava di proposito degli esercizi abbastanza semplici e diceva: "Gli esercizi della prova scritta sono semplici, lo so, ma devono essere svolti bene, senza errori nei calcoli: procedimento corretto, ma risultato errato implica esercizio errato...".
Se vogliamo magari un po' estremista, ma l'idea è quella...
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