Un rettangolo è un dominio Lipschitziano?
Salve ragazzi,
ho trovato un paio di definizioni su cosa sia un dominio Lipschtziano ma nessuna che sia intuitiva o che si possa mettere in pratica facilmente per dimostrare se un rettangolo lo è. Oppure se conoscete il titolo di un testo che ne parli in modo non troppo tecnico...Grazie!
Simone
ho trovato un paio di definizioni su cosa sia un dominio Lipschtziano ma nessuna che sia intuitiva o che si possa mettere in pratica facilmente per dimostrare se un rettangolo lo è. Oppure se conoscete il titolo di un testo che ne parli in modo non troppo tecnico...Grazie!
Simone
Risposte
Sì, lo è.
In realtà la definizione è intuitiva: detta a spanne, localmente il bordo è il grafico di una funzione Lipschitziana, tale che la porzione dell'insieme sta sopra questo grafico e la porzione del complementare sotto.
Prendi ora un rettancolo con lati paralleli agli assi; gli unici punti che danno fastidio sono i vertici. Preso un vertice, considera un sistema locale di coordinate $(x',y')$ con assi inclinati di 45 gradi, asse $x'$ che rimane esterno al rettangolo, e asse $y'$ con direzione positiva verso il rettangolo stesso.
Vedi subito che la definizione di Lipschitzianità è verificata considerando la funzione $y' = |x'|$, con $(x',y')$ che varia in un opportuno intorno dell'origine.
Comunque, nel tuo caso un criterio molto semplice è questo: i domini convessi limitati sono Lipschitziani.
In realtà la definizione è intuitiva: detta a spanne, localmente il bordo è il grafico di una funzione Lipschitziana, tale che la porzione dell'insieme sta sopra questo grafico e la porzione del complementare sotto.
Prendi ora un rettancolo con lati paralleli agli assi; gli unici punti che danno fastidio sono i vertici. Preso un vertice, considera un sistema locale di coordinate $(x',y')$ con assi inclinati di 45 gradi, asse $x'$ che rimane esterno al rettangolo, e asse $y'$ con direzione positiva verso il rettangolo stesso.
Vedi subito che la definizione di Lipschitzianità è verificata considerando la funzione $y' = |x'|$, con $(x',y')$ che varia in un opportuno intorno dell'origine.
Comunque, nel tuo caso un criterio molto semplice è questo: i domini convessi limitati sono Lipschitziani.
Rigel non hai idea di quanto mi hai aiutato con questa e la domanda sulla soluzione H^2, Sul Grisvard c'era proprio quello che cercavo!!!!! (solo che parlava di domini Lipschitziani e non ero sicuro di questo)
Siiiiiiiiiiii
Graziee!!!
Simone
Siiiiiiiiiiii
Graziee!!!
Simone
Figurati, è un piacere.
C'è però qualcosa che non mi torna: a quanto mi ricordavo, nei domini Lipschitziani con "angoli concavi" la regolarità $H^2$ non vale.
Hai per caso il riferimento preciso, che così se mi capita sotto mano il Grisvard gli do un'occhiata?
C'è però qualcosa che non mi torna: a quanto mi ricordavo, nei domini Lipschitziani con "angoli concavi" la regolarità $H^2$ non vale.
Hai per caso il riferimento preciso, che così se mi capita sotto mano il Grisvard gli do un'occhiata?
Scusa il ritardo,
farò di meglio ti metto le due pagine del Grisvard dove ci sono i teoremi che ho utilizzato. Allora per far vedere che la soluzione è $H^2(\Omega)$ ho usato il teorema 3.2.1.3 che si trova al link
http://disco.alice.it/filemanagerfu/ved ... .xps.1.jpg
Questo però mi dice che la soluzione è $H^2$ per il problema nella formulazione debole, tuttavia, come è scritto subito dopo, si può usare un altro teorema, l' 1.5.3.1, (che è sostanzialmente l'identità di Green) per tornare al problema classico. Nella sua applicazioone richiede la Lipschitzianità del bordo, lo trovi qui
http://disco.alice.it/filemanagerfu/ved ... .xps.1.jpg
Volevo cercare qualcosa che mi dicesse anche che esiste la soluzione della formulazione debole se e solo se esiste la soluzione del problema classico ma questo è un altro problema. Che ne dici ti convince?
Simone
farò di meglio ti metto le due pagine del Grisvard dove ci sono i teoremi che ho utilizzato. Allora per far vedere che la soluzione è $H^2(\Omega)$ ho usato il teorema 3.2.1.3 che si trova al link
http://disco.alice.it/filemanagerfu/ved ... .xps.1.jpg
Questo però mi dice che la soluzione è $H^2$ per il problema nella formulazione debole, tuttavia, come è scritto subito dopo, si può usare un altro teorema, l' 1.5.3.1, (che è sostanzialmente l'identità di Green) per tornare al problema classico. Nella sua applicazioone richiede la Lipschitzianità del bordo, lo trovi qui
http://disco.alice.it/filemanagerfu/ved ... .xps.1.jpg
Volevo cercare qualcosa che mi dicesse anche che esiste la soluzione della formulazione debole se e solo se esiste la soluzione del problema classico ma questo è un altro problema. Che ne dici ti convince?
Simone
Sì, il teor. 3.2.1.3 è proprio quello per domini convessi che (più o meno) mi ricordavo.
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