Un quesito un limite, una cosa che non mi so spiegare!

[Acciai]

Ciao a tutti,
scusatemi se la cosa sarà banale ma non me la so spiegare davvero!!
Prendiamo il limite
$lim_(x->+infty)(sqrt(x^2-3x+1)-sqrt(x^2+5x-7))$
Se lo risolvo normalmente (cioè razionalizzando) torna -4. Ho controllato la funzione con geogebra e -4 è il risultato giusto.
Ma se applico questo ragionamento diverso torna zero. Qualcuno di voi sa dirmi dove sbaglio in questo ragionamento che vi riporto?
Provo a utilizzare i teoremi sull'algebra dei limiti, cioè il limite della differenza è la differenza dei limiti, anche quando la x tende a infinito o il risultato è infinito quindi: $lim_(x->+infty)(sqrt(x^2-3x+1)-sqrt(x^2+5x-7))$ = $lim_(x->+infty)sqrt(x^2-3x+1)-lim_(x->+infty)sqrt(x^2+5x-7)$.
Ora uso il teorema del limite della radice, valido anche quando x tende a infinito o il risultato è infinito, cioè in tutto R*:
$lim_(x->+infty)sqrt(x^2-3x+1)-lim_(x->+infty)sqrt(x^2+5x-7)$ = $sqrt(lim_(x->+infty)(x^2-3x+1))-lim_(x->+infty)sqrt(lim_(x->+infty)(x^2+5x-7))$
Ora ho il limite di due polinomi. Da cui, considerando solo i termini di grado massimo,
$...= sqrt(lim_(x->+infty)x^2)-sqrt(lim_(x->+infty)x^2) =0!!$
( Oppure tilizzando ancora il teorema sul limite della radice otterrei $...= lim_(x->+infty)(sqrt(x^2)-sqrt(x^2))=0!!!!$ )
Ma il limite fa -4!!!!!
Aiutatemi a capire... scusate...
Dove sbaglio????

[hopper1962]

I passaggi che fai sono tutti ragionevoli, l'errore sta nella conclusione finale, in quanto dall'ultimo passaggio nel quale resti con le due radici semplificate non puoi concludere per il limite a 0 più di quanto tu non sia autorizzato a fare dalla forma iniziale del limite. Sono entrambe forme indeterminate infinito meno infinito.
Ciao

[gugo82]

Posta ancora in altri termini, le approssimazioni:
\[
\begin{split}
\sqrt{x^2-3x+1}&\approx \sqrt{x^2} = x\qquad \text{, per } x\to +\infty\\
\sqrt{x^2+5x-7}&\approx \sqrt{x^2} = x\qquad \text{, per } x\to +\infty
\end{split}
\]
sono troppo brutali, perché ti perdi dei contributi che non si elidono all'infinito.

Come sovente accade, un'approssimazione migliore ti leva da ogni imbarazzo: infatti, se tieni presente che:
\[
\sqrt{1+y} \approx 1+\frac{1}{2}\ y\qquad \text{, per } y\to 0
\]
(questa è la formula di Taylor al primo ordine per la radice, equivalente al limite notevole della radice), hai:
\[
\begin{split}
\sqrt{x^2-3x+1}&= \sqrt{x^2\left( 1+ \frac{-3x+1}{x^2}\right)}\\
&=x\ \sqrt{1+ \frac{-3x+1}{x^2}}\\
&\approx x\ \left( 1+ \frac{1}{2}\ \frac{-3x+1}{x^2}\right) \qquad \text{, per } x\to +\infty\\
\sqrt{x^2+5x-7}&=\sqrt{x^2 \left( 1+ \frac{5x-7}{x^2}\right)}\\
&=x\ \sqrt{1+ \frac{5x-7}{x^2}}\\
&\approx x\ \left( 1+ \frac{1}{2}\ \frac{5x-7}{x^2}\right)\qquad \text{, per } x\to +\infty
\end{split}
\]
dunque:
\[
\sqrt{x^2-3x+1} - \sqrt{x^2+5x-7} \approx \cancel{x}+ \frac{1}{2}\ \frac{-3x+1}{x} - \cancel{x} - \frac{1}{2}\ \frac{5x-7}{x} = -4 + \frac{4}{x}\qquad \text{, per } x\to +\infty
\]
e da ciò segue il risultato del limite.

[Acciai]

Grazie tante!