Un problema di Teoria della Misura e dell'Integrazione

[gugo82]

Prendo spunto da una questione di Teoria della Misura ed Integrazione postata ieri (qui) per proporre il seguente problema.

***

Siano $u,v:RR^N\to RR$ misurabili secondo Lebesgue.
Si dice che $u$ e $v$ sono equimisurabili se e solo se gli insiemi di livello di $|u|$ e $|v|$ corrispondenti ad uno stesso livello $t>=0$ hanno la stessa misura, ovvero se:

$AA t>=0,\quad |\{ |u|>t\}|=|\{|v|>t\}|$

(qui evidentemente il simbolo $|\cdot|$ denota il valore assoluto se l'argomento è un numero od una funzione, oppure la misura di Lebesgue se l'argomento è un insieme).
In tal caso si dice pure che $v$ è un riordinamento di $u$.

Se poniamo $mu_u:[0,+oo[ to [0,+oo],\ mu_u(t):=|\{ |u|>t\}|$ (la $mu_u$ è detta funzione di distribuzione di $u$), si ha $u" e " v" equimisurabili" \Leftrightarrow mu_u=mu_v$.

***

Problema:

Siano $u,v:RR^N\to RR$ funzioni misurabili.

1. Dimostrare che $mu_u$ è una funzione decrescente in $[0,+oo[$ e continua a destra di ogni $t\in [0,+oo[$ (nel senso che, comunque si fissi una successione $(t_n)\subseteq [0,+oo[$ con $AAn\in NN,\ t_n>t$ e $t_n\to t$, si ha $lim_n mu_u(t_n)=mu_u(t)$).

2. Dimostrare che se $u$ e $v$ sono equimisurabili allora, per ogni $p \in [1,+oo[$, si ha

(a) $\quad u\in L^p(RR^N) => v\in L^p(RR^N) \quad$ e $\quad ||u||_p=||v||_p$.

3. Posto:

$AA x\in RR^N,\quad u^**(x):="sup"\{ t>=0 :\ mu_u(t)>omega_N |x|^N\}="sup"\{ t>=0 :\ |\{ |u|>t\}|>omega_N |x|^N\}$,

(qui $omega_N:=" misura della palla unitaria di " RR^N$) dimostrare che $u^**$ è un riordinamento di $u$ e che $||u||_p=||u^**||_p$.
Inoltre mostrare che $u^**$ è una funzione non negativa, a simmetria radiale (ossia costante su ogni sfera di centro $o=(0,\ldots ,0)$*) e decrescente su ogni semiretta uscente da $o$.

4. Posto $N=1$ ed:

$u(x):=\{(4-(x^2-1)^2, ", se " |x|<= \sqrt(3)),(0, ", se " |x|>=sqrt(3)):}$

calcolare esplicitamente la legge di assegnazione di $u^**$.
Si confronti la regolarità delle restrizioni a $]-sqrt(3),sqrt(3)[$ di $u$ ed $u^**$.

Suggerimenti: 1. Sfruttare la definizione di $mu_u$.
2. Tenere presente che $||u||_p^p=\int_RR |u(x)|^p " d"x=\int_RR \{ \int_0^(|u(x)|) pt^(p-1)" d"t\}" d"x$ ed applicare astutamente Fubini.
3. Per la prima parte basta mostrare che $mu_(u^**)=mu_u$ e sfruttare la 2; per la seconda parte, basta sfruttare la definizione di $u^**$.
4. Procedere come segue: innanzitutto disegnare un grafico di $u$; determinare esplicitamente $mu_u(t)$ per $t>=0$; determinare l'assegnazione della funzione $u^#(s):="sup"\{ t>=0: mu_u(t)>s\}$ (che è una sorta di inversa di $mu_u$); tenendo presente che $u^**(x)=u^#(2|x|)$, determinare l'assegnazione che definisce $u^**$.

***

La funzione $u^**$ si chiama riordinamento di Schwarz o anche riordinamento sferico decrescente di $u$.

L'idea che sta dietro al riordinamento di Schwarz è semplice: data $u$, io affetto il grafico di $|u|$ (sottoinsieme di $RR^(N+1)$) al livello $t$, trasformo l'insieme di livello $\{ |u|>t\}$ ($\subseteq RR^N$) in una palla di ugual misura e la impilo ad altezza $t$ sullo $(N+1)$-esimo asse coordinato di $RR^(N+1)$. Facendo queste operazioni ricostruisco il grafico di $u^**$.

L'importanza del riordinamento sferico decrescente sta nel fatto che tale funzione è, essenzialmente, una funzione di un'unica variabile (ossia di $r=|x|$) e perciò, in molti casi, consente di ricondurre al caso monodimensionale problemi di Calcolo delle Variazioni in dimensione maggiore di $1$ (ad esempio, si veda il classico articolo di G. Talenti (1976), Best constant in Sobolev inequality, Annali di Mat. Pura e Appl., vol. 110, pagg. 353-376.)

__________
* Qui per sfera di centro $o$ intendo un insieme del tipo $\{ x\in RR^N:\ |x|=R\}$ con $R>0$.

[gugo82]

Nessuno vuol provare?

Forza, almeno la 1 che è semplice semplice...

[dissonance]

Sia [tex]ts \} \subset \{ |u|>t \}[/tex] quindi [tex]\mu_u(s)=m\{ |u|>s \} \le m \{ |u|>t \}=\mu_u(t)[/tex], ovvero [tex]\mu_u[/tex] è non crescente. Sia poi [tex]t_n \searrow t \ge 0[/tex], allora [tex]\{ |u| > t_1 \} \subset \{ |u| > t_2 \} \subset \dots \subset \{ |u|>t_n \} \subset \dots[/tex] e quindi [tex]m\{ |u|> t_n \} \to m\bigcup \{ |u|>t_n \}[/tex]; essendo [tex]t=\text{inf}(t_n)[/tex] è anche [tex]\bigcup \{ |u|>t_n \} = \{ |u|>t \}[/tex], ovvero la tesi.

Vabbé, questo era l'antipasto, ora vediamo di risolvere gli altri punti.

Ma perché $v$ è un riordinamento di $u$? Non riesco ad intuire l'analogia con i riordinamenti delle somme. La cosa mi interessa perché è proprio l'argomento di questo topic.

[gugo82]

L'analogia l'ho esposta nelle ultime righe del primo post: si tratta sempre di "ricostruire" il grafico di [tex]u[/tex] in un modo diverso, ma conservando qualcosa (in questo caso, la misura degli insiemi di livello).

Volendo fare un paragone con le successioni, prendiamo [tex](a_n)\in c_{00}(\mathbb{R})[/tex]* ed una [tex]\sigma:\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex] una permutazione d'indici; inoltre mettiamo su [tex]\mathbb{N}[/tex] la misura che conta denotata con [tex]\sharp[/tex].
La [tex](a_n)[/tex] e la [tex](a_{\sigma(n)})[/tex] sono equimisurabili nel senso della definizione precedente: infatti, comunque si fissi [tex]t\in \mathbb{R}[/tex], gli insiemi [tex]A(t):=\{ n\in \mathbb{N} :\; a_n>t\}[/tex] ed [tex]A^\sigma (t):=\{ n\in \mathbb{N} :\; a_{\sigma (n)}>t\}[/tex] hanno [tex]\sharp A(t)=\sharp A^\sigma (t)[/tex].

Probabilmente è da questo fatto che Hardy, Littlewood e Polya hanno tratto il nome riordinamento: invero, il termine "rearrangement of a function" per denotare una funzione equimisurabile ad una assegnata è stato introdotto dai tre matematici nell'ultimo capitolo del classico Inequalities (1934).

Insieme alla definizione formale, in H-L-P è provata una simpatica disuguaglianza per le successioni positive in [tex]c_{00}(\mathbb{R})[/tex] (che può essere generalizzata alle successioni di ogni segno ed alle funzioni misurabili), che è nota come disuguaglianza di Hardy Littlewood:

[tex]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n^\sharp b_n_\sharp \leq \sum_{n=0}^{+\infty} a_nb_n \leq \sum_{n=0}^{+\infty} a_n^\sharp b_n^\sharp[/tex]

in cui: [tex]a=(a_n),b=(b_n)\in c_{00}(\mathbb{R})[/tex] sono positive ([tex]\forall n\in \mathbb{N},\; a_n,b_n\geq 0[/tex]); [tex]a^\sharp=(a_n^\sharp)[/tex] e [tex]b^\sharp=(b_n^\sharp)[/tex] sono i riordinamenti crescenti di [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]; [tex]b_\sharp=(b_n_\sharp)[/tex] è il riordinamento decrescente di [tex]b[/tex].**

Un modo più colloquiale di enunciare la disuguaglianza di H-L è dire che "il prodotto scalare" di due successioni positive definitivamente nulle è massimo [risp. minimo] quando le due successioni sono ordinate allo stesso modo (entrambe crescenti o entrambe decrescenti) [risp. in modi opposti (una crescente e l'altra decrescente)].

Per immaginarsi un po' il perchè funzioni la disuguaglianza di H-L prova a rispondere al seguente problema:

Ho nel portafogli 5 banconote di ogni taglio tra 5 e 100 euro (insomma, 5 da 5E, 5 da 10E, etc...).
Prendendo 1 banconota di un taglio; 2 banconote di un taglio diverso dal precedente; 3 di un taglio diverso dai precedenti; 4 di un taglio diverso dai precedenti; e 5 dell'ultimo taglio;*** quali sono le minime e le massime somme di denaro che posso prelevare dal portafogli?

La risposta è nella disuguaglianza di H-L.

__________
* Qui [tex]c_{00}(\mathbb{R})[/tex] è la classe delle successioni definitivamente nulle, ossia quelle [tex](a_n)[/tex] caratterizzate dalla proprietà [tex]\exists \nu \in \mathbb{N} :\quad \forall n\geq \nu , a_n=0[/tex].

** Definire esplicitamente ed in maniera buona i riordinamenti, se le successioni hanno termini ripetuti, è un po' noioso; tuttavia si capisce cosa intendo: ad esempio [tex]b_\sharp[/tex] è ottenuta applicando una permutazione [tex]\sigma[/tex] che muove solo gli indici [tex]\{ 0,\ldots ,\nu-1\}[/tex] (qui [tex]\nu[/tex] è l'indice a partire dal quale in poi tutti gli elementi di [tex](b_n)[/tex] sono nulli) di modo che la successione [tex](b_n_\sharp)=(b_{\sigma(n)})[/tex] sia decrescente sul suo "supporto" [tex]\{ 0,\ldots ,\nu-1\}[/tex].

*** Esempio: 1 banconota da 10E; 2 banconote da 50E; 3 banconote da 100E; 4 banconote da 20E; 5 banconote da 5E.

[gugo82]

"dissonance":Sia [tex]ts \} \subset \{ |u|>t \}[/tex] quindi [tex]\mu_u(s)=m\{ |u|>s \} \le m \{ |u|>t \}=\mu_u(t)[/tex], ovvero [tex]\mu_u[/tex] è non crescente. Sia poi [tex]t_n \searrow t \ge 0[/tex], allora [tex]\{ |u| > t_1 \} \subset \{ |u| > t_2 \} \subset \dots \subset \{ |u|>t_n \} \subset \dots[/tex] e quindi [tex]m(\{ |u|> t_n \}) \to m(\bigcup \{ |u|>t_n \})[/tex]; essendo [tex]t=\text{inf}(t_n)[/tex] è anche [tex]\bigcup \{ |u|>t_n \} = \{ |u|>t \}[/tex], ovvero la tesi.

Giusto, direi. Quindi la 1 è accomodata.

[gugo82]

Come sapete, non mi piace lasciare questi esercizi in sospeso per più di un mese e perciò di solito pubblico le soluzioni.

Non faccio eccezione questa volta; tuttavia, visto che dissonance ci sta lavorando, metto la soluzione in spoiler, nella speranza che finisca di postare le sue idee.

Visto che la 1. è stata risolta, posto la soluzione delle altre questioni; contravvenendo all'ordine che ho imposto (ed aspettando dissonance sulle questioni teoriche) comincio dall'ultima, ossia dalla:

"Gugo82":4. Posto $N=1$ ed:

$u(x):=\{(4-(x^2-1)^2, ", se " |x|<= \sqrt(3)),(0, ", se " |x|>=sqrt(3)):}$

calcolare esplicitamente la legge di assegnazione di $u^**$.
Si confronti la regolarità delle restrizioni a $]-sqrt(3),sqrt(3)[$ di $u$ ed $u^**$.

Suggerimenti: 4. Procedere come segue: innanzitutto disegnare un grafico di $u$; determinare esplicitamente $mu_u(t)$ per $t>=0$; determinare l'assegnazione della funzione $u^#(s):="sup"\{ t>=0: mu_u(t)>s\}$ (che è una sorta di inversa di $mu_u$); tenendo presente che $u^**(x)=u^#(2|x|)$, determinare l'assegnazione che definisce $u^**$.

Come suggerito, cominciamo con un grafico di [tex]u[/tex]:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-2;ymax=4;
axes("labels","grid");
plot("4-(x^2-1)^2",-1.732,1.732);
line([-4,0],[-1.732,0]);
line([4,0],[1.732,0]);[/asvg]
da cui si vede chiaramente che [tex]u\in C^1_{\text{piec}}(\mathbb{R}) \cap C_c(\mathbb{R})[/tex] (ossia [tex]u[/tex] è continua, a supporto compatto e di classe [tex]C^1[/tex] a tratti); in particolare la restrizione di [tex]u[/tex] a [tex]]-\sqrt{3},\sqrt{3}[[/tex] è di classe [tex]C^\infty[/tex].
Inoltre si ha [tex]0\leq u\leq 4[/tex] e [tex]\text{supp} u=[-\sqrt{3},\sqrt{3}][/tex]; la [tex]u[/tex] presenta massimi assoluti nei punti [tex]x=\pm 1[/tex] (in cui [tex]u(-1)=4=u(1)[/tex]) ed un minimo relativo in [tex]x=0[/tex] (in cui [tex]u(0)=3[/tex]).

Calcoliamo esplicitamente [tex]\mu_u(t)[/tex]: dato che [tex]u \geq 0[/tex], la definizione fornisce[tex]\mu_u(t):=| \{ u>t\}|[/tex], sicché per determinare [tex]\mu_u(t)[/tex] una volta fissato [tex]t\in \mathbb{R}[/tex] si deve 1) risolvere la disequazione [tex]u(x)>t[/tex] e 2) calcolare la lunghezza dell'insieme delle soluzioni della suddetta disequazione.
Distinguiamo un po' di casi:

a) [tex]4\leq t[/tex]: in tal caso si ha [tex]\{ u>t\}=\emptyset[/tex], per cui [tex]\mu_u(t)=0[/tex];
b) [tex]3\leq t<4[/tex]: in tal caso, con un po' di passaggi, si vede che l'insieme delle soluzioni della disequazione [tex]u>t[/tex] è [tex]]-\sqrt{1+\sqrt{4-t}},-\sqrt{1-\sqrt{4-t}}[\cup ]\sqrt{1-\sqrt{4-t}},\sqrt{1+\sqrt{4-t}}[[/tex] di modo che [tex]\mu_u(t)=2(\sqrt{1+\sqrt{4-t}} -\sqrt{1-\sqrt{4-t}})[/tex];
c) [tex]0\leq t<3[/tex]: in tal caso, con gli stessi passaggi, si vede che [tex]\{ u>t\}=]-\sqrt{1+\sqrt{4-t}} ,\sqrt{1+\sqrt{4-t}}[[/tex] quindi [tex]\mu_u(t)=2\sqrt{1+\sqrt{4-t}}[/tex];
d) [tex]t<0[/tex]: si ha [tex]\{ u>t\}=\mathbb{R}[/tex] e [tex]\mu_u(t)=+\infty[/tex].

Mettendo tutto insieme:

[tex]\mu_u(t)=\begin{cases} +\infty & \text{, se } t<0\\
2\sqrt{1+\sqrt{4-t}} & \text{, se } 0\leq t<3\\
2(\sqrt{1+\sqrt{4-t}} -\sqrt{1-\sqrt{4-t}}) & \text{, se } 3\leq t<4\\
0 & \text{, se } 4\leq t
\end{cases}[/tex]

da cui il grafico:
[asvg]xmin=-1;xmax=5;ymin=-1;ymax=5;
axes("labels", "grid");
stroke="red";
line([6,0],[4,0]);
plot("2*(sqrt(1+sqrt(4-x))-sqrt(1-sqrt(4-t)))",3,4);
plot("2*sqrt(1+sqrt(4-x))",0,3);
dot([-0.3,5]);
dot([-0.6,5]);
dot([-0.9,5]);
dot([-1.2,5]);[/asvg]
ove i pallini indicano che in quella zona la [tex]\mu_u[/tex] assume il valore [tex]+\infty[/tex].

Determiniamo la funzione [tex]u^\sharp[/tex] (detta riordinamento decrescente di [tex]u[/tex]): per definizione si ha [tex]u^\sharp (s):=\sup \{t\in \mathbb{R}:\; \mu_u(t)>s\}[/tex], cosicché per determinare [tex]u^\sharp (s)[/tex] per fissato [tex]s\in \mathbb{R}[/tex] bisogna 1) risolvere la disequazione [tex]\mu_u(t)>s[/tex] e 2) prendere [tex]u^\sharp(s)[/tex] uguale all'estremo superiore dell'insieme delle soluzioni della suddetta disequazione.
Distinguiamo un po' di casi:

a) [tex]2\sqrt{3} < s[/tex]: in tal caso l'insieme delle soluzioni di [tex]\mu_u (t)>s[/tex] è [tex]]-\infty ,0[[/tex] onde [tex]u^\sharp (s)=0[/tex];
b) [tex]2\sqrt{2} < s\leq 2\sqrt{3}[/tex]: in tal caso, con un po' di passaggi, si trova che [tex]\{ \mu_u>s\} =]-\infty ,4-\{(\frac{s}{2})^2-1\}^2[[/tex] per cui [tex]u^\sharp (s)= 4-\{(\frac{s}{2})^2-1\}^2[/tex];
c) [tex]0< s\leq 2\sqrt{2}[/tex]: in tal caso, facendo un po' dei soliti conti, si trova [tex]u^\sharp(s)=3+\{1-\frac{1}{2} (\frac{s}{2})^2\}^2[/tex];
d) [tex]s\leq 0[/tex]: in tal caso poniamo per definizione [tex]u^\sharp (s)=\sup u= 4[/tex].

Mettendo tutto insieme troviamo:

[tex]u^\sharp (s):=\begin{cases} 4 & \text{, se } s\leq 0\\
3+\{1-\frac{1}{2} (\frac{s}{2})^2\}^2 & \text{, se } 0 4-\{(\frac{s}{2})^2-1\}^2 & \text{, se } 2\sqrt{2} 0 & \text{, se } 2\sqrt{3} \leq s \end{cases}[/tex]

ed il grafico:
[asvg]xmin=-1;xmax=4;ymin=-1;ymax=4;
axes("labels","grid");
stroke="green";
line([3.464,0],[5,0]);
plot("4-(x^2/4-1)^2",2.828,3.464);
plot("3+(1-x^2/8)^2",0,2.828);
line([0,4],[-2,4]);[/asvg]

Infine basta tener presente la relazione [tex]u^\star (x)=u^\sharp(2|x|)[/tex] per ottenere:

[tex]u^\star (x):=\begin{cases} 3+(1-\frac{1}{2} x^2)^2 & \text{, se } |x|\leq \sqrt{2} \\
4-(x^2-1)^2 & \text{, se } \sqrt{2} <|x|\leq \sqrt{3} \\
0 & \text{, se } \sqrt{3} <|x| \end{cases}[/tex]

ed infine il grafico:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-2;ymax=4;
axes("labels", "grid");
stroke="dodgerblue";
plot("3+(1-0.5*x^2)^2",-1.414,1.414);
plot("4-(x^2-1)^2",1.414,1.732);
plot("4-(x^2-1)^2",-1.732,-1.414);
line([-5,0],[-1.732,0]);
line([1.732,0],[5,0]);[/asvg]

Si noti che [tex]u^\star =u[/tex] per [tex]\sqrt{2} <|x|\leq \sqrt{3}[/tex]: questo succede perchè [tex]u[/tex] è monotona decrescente e simmetrica nell'insieme definito dalle limitazioni [tex]\sqrt{2} <|x|\leq \sqrt{3}[/tex].
D'altra parte [tex]u^\star \neq u[/tex] in [tex]|x|\leq \sqrt{2}[/tex], perchè [tex]u[/tex] non è monotona e simmetrica ed il suo grafico presenta due "gobbe" in [tex][-\sqrt{2} ,\sqrt{2}][/tex].

Infine, si vede che [tex]u^\star[/tex] non è [tex]C^1[/tex] in [tex]]-\sqrt{3},\sqrt{3}[[/tex] ma soltanto [tex]C_{\text{piec}}^1(]-\sqrt{3},\sqrt{3}[)[/tex].
Si può dimostrare (ma non è semplice!!!) che i punti angolosi escono fuori in corrispondenza di estremi relativi (questo succede perchè la derivata del riordinamento è "simile" ad una media armonica e, proprio come tale media, ha problemi col valore [tex]0[/tex])

Chi vuole può constatare che [tex]u^\star[/tex] ed [tex]u[/tex] sono effettivamente equimisurabili.

[dissonance]

"Gugo82":Non faccio eccezione questa volta; tuttavia, visto che dissonance ci sta lavorando, metto la soluzione in spoiler, nella speranza che finisca di postare le sue idee.

Grazie Gugo, questo problema mi interessa molto. Propongo la mia dimostrazione per il punto 2).

Sia [tex]f\colon \mathbb{R}^N \to \ [0, \infty ][/tex] una funzione misurabile. Osserviamo che la funzione di distribuzione [tex]\mu_f\colon [0, \infty) \to [0, \infty ][/tex], essendo decrescente, è misurabile: infatti gli insiemi [tex]\{ t\ge 0\ :\ \mu_f(t) > s \}[/tex] sono intervalli per ogni [tex]s[/tex] reale. Ha quindi senso calcolarne l'integrale e risulta

[tex]\begin{equation}
\int_0 ^\infty \mu_f(t)\,dt = \int_{\mathbb{R}^N}f(x)\,dx \end{equation}[/tex]

Per dimostrare la (1) consideriamo preliminarmente [tex]s\colon \mathbb{R}^N \to [0, \infty ][/tex] una funzione semplice e misurabile, [tex]s(x)=c_1 \chi_{A_1}(x)+\dots +c_k\chi_{A_k}(x)[/tex] per opportuni [tex]A_1, \dots , A_k[/tex] misurabili e [tex]c_1
[tex]\mu_s (t) =
\begin{cases}
m(A_1)+m(A_2)+\dots +m(A_k) & 0 \le t < c_1 \\
m(A_2)+\dots+m(A_k) & c_1 \le t < c_2 \\
\vdots \\
m(A_k) & c_{k-1} \le t < c_k \end{cases}[/tex]

il cui integrale è

[tex]\displaymath \int_0^\infty \mu_s (t)\, dt = c_1 [ m(A_1)+ \dots + m(A_k) ] + (c_2 -c_1)[m(A_2) + \dots + m(A_k)] + \dots + (c_k - c_{k-1}) m(A_k)[/tex]

ovvero [tex]\int_0^\infty \mu_s (t)\, dt = c_1 m(A_1) + \dots + c_k m(A_k) = \int _{\mathbb{R}^N} s(x)\, dx[/tex] essendo telescopica la somma a secondo membro.


Per estendere questo risultato ad una [tex]f\colon \mathbb{R}^N \to [0, \infty][/tex] misurabile, consideriamo una successione [tex](s_n)[/tex] di funzioni semplici e misurabili tali che [tex]s_n \nearrow f[/tex]. Dalla disuguaglianza [tex]s_n(x) \le s_{n+1}(x)[/tex] segue che [tex]\{ s_n(x)>t \} \subset \{ s_{n+1}(x) > t \}[/tex], dunque [tex]\mu_{s_n} \le \mu_{s_{n+1}}[/tex]; inoltre

[tex]\displaymath \bigcup_{n=1}^\infty \{ s_n(x)> t \} = \{ \sup _{n \in \mathbb{N} } s_n(x) > t \} = \{ u(x) > t \}[/tex]; dal teorema sulla misura dell'unione crescente si ha [tex]\mu_{s_n} \nearrow \mu_{f}[/tex].

Applicando i teoremi di B. Levi e dell'unicità del limite si ottiene la (1).


Infine, siano [tex]1 \le p < \infty , \ u \in L^p(\mathbb{R} ^N )[/tex] e [tex]v[/tex] un riordinamento di [tex]u[/tex]. Dall'uguaglianza, verificata per ogni [tex]t \ge 0[/tex],

[tex]m \{ \lvert u \rvert > t^\frac{1}{p} \} = m \{ \lvert v \rvert > t^\frac{1}{p} \}[/tex] segue che [tex]\mu_{ \lvert u \rvert ^p } = \mu_{ \lvert v \rvert ^p}[/tex], e quindi per la (1)

[tex]\displaymath \int_{\mathbb{R}^n} \lvert u(x) \rvert ^p \, dx = \int_0 ^\infty \mu_{ \lvert u \rvert ^p }(t)\,dt = \int_0^\infty \mu_{ \lvert v \rvert ^p}(t)\,dt = \int_{\mathbb{R}^n} \lvert v(x) \rvert ^p \, dx[/tex]

ovvero la tesi del punto 2).

[gugo82]

Ottimo!
Con la tecnica che hai usato credo si riesca a mostrare addirittura che se [tex]\Psi :\mathbb{R}\to [0,+\infty[[/tex] è una qualsiasi funzione misurabile secondo Borel allora risulta:

[tex]\int_{\mathbb{R}^N} \Psi (u(x)) \text{ d}x =\int_{\mathbb{R}^N} \Psi (v(x)) \text{ d}x[/tex]

per ogni coppia di funzioni equimisurabili [tex]u[/tex] e [tex]v[/tex].
Però si tratta di fare una piccola verifica.

***

Io l'avevo pensata diversa, però!
Il trucco stava nell'applicare Fubini.

Infatti, se [tex]1\leq p <+\infty[/tex] ed [tex]u\in L^p(\mathbb{R}^N)[/tex], allora [tex]||u||_p<+\infty[/tex]; si ha:

(a) [tex]||u||_p^p=\int_{\mathbb{R}^N} |u(x)|^p \text{ d}x=\int_{\mathbb{R}^N} \left\{ \int_0^{|u(x)|}p\; t^{p-1} \text{ d} t\right\} \text{ d}x[/tex]

e non è difficile rendersi conto che, per fissato [tex]x\in \mathbb{R}^N[/tex], si ha:

(b) [tex]\int_0^{|u(x)|} p\; t^{p-1}\text{ d} t=\int_0^{+\infty} p\; t^{p-1} \chi_{\{ |u|>t\}}(x) \text{ d} t[/tex];

sostituendo (b) in (a) si trova:

(c) [tex]||u||_p^p =\int_{\mathbb{R}^N} \left\{ \int_0^{+\infty} p\; t^{p-1} \chi_{\{|u|>t\}} (x) \text{ d} t\right\} \text{ d} x[/tex],

cosicché esiste finito l'integrale iterato rispetto a [tex]t[/tex] ed [tex]x[/tex] della funzione positiva [tex]U(x,t)=p\; t^{p-1} \chi_{\{ |u|>t\}} (x)[/tex] definita in [tex]\mathbb{R}^N \times [0,+\infty[[/tex].

Il teorema di Fubini assicura che esiste finito anche l'itegrale iterato di [tex]U(x,t)[/tex] rispetto ad [tex]x[/tex] e [tex]t[/tex] e che tra i due integrali sussiste l'uguaglianza: pertanto si può invertire l'ordine d'integrazione in (c) e si può scrivere:

(d) [tex]||u||_p^p = \int_0^{+\infty} \left\{ \int_{\mathbb{R}^N} p\; t^{p-1} \chi_{\{ |u|>t\}} (x)\text{ d} x\right\} \text{ d} t = p\; \int_0^{+\infty} t^{p-1} \mu_u (t) \text{ d} t[/tex].

La differenza che passa tra (c) e (d) è questa: in (c) stiamo integrando "per verticali", mentre in (d) stiamo integrando "per orizzontali".

Con (d) siamo riusciti ad esprimere la norma [tex]L^p[/tex] di [tex]u[/tex] rispetto alla funzione di distribuzione [tex]\mu_u[/tex]; in tal modo la tesi segue dalla supposta equimisurabilità di [tex]u[/tex] e [tex]v[/tex].

Piaciuta?