Un problema di definizione-traduzione (varietà)
Vorrei capire una volta per tutte le definizioni di varietà differenziabile che sia:
1) Liscia (nel senso della traduzioni in italiano di <>)
2) Regolare
Sono la stessa cosa? Da qualche parte queste definizioni sottintendono l'indicazione della classe $C^k$ a cui appartengono le funzioni di transizione (o i cambi di coordinata) o devo aspettarmi un'indicazione esplicita?
Ad esempio se mi si dice che
"$RR^n$ is a smooth manifold with the identity as a chart"
mi sta dicendo che considera l'identità come funzione $C^1$, $C^infty$, analitica? In questo caso valgono tutte queste condizioni ma in generale come devo interpretare l'indicazione "smooth manifold"?
Forse è un problema da niente però mi piace avere il controllo totale dei termini che uso o leggo. Grazie.
1) Liscia (nel senso della traduzioni in italiano di <
2) Regolare
Sono la stessa cosa? Da qualche parte queste definizioni sottintendono l'indicazione della classe $C^k$ a cui appartengono le funzioni di transizione (o i cambi di coordinata) o devo aspettarmi un'indicazione esplicita?
Ad esempio se mi si dice che
"$RR^n$ is a smooth manifold with the identity as a chart"
mi sta dicendo che considera l'identità come funzione $C^1$, $C^infty$, analitica? In questo caso valgono tutte queste condizioni ma in generale come devo interpretare l'indicazione "smooth manifold"?
Forse è un problema da niente però mi piace avere il controllo totale dei termini che uso o leggo. Grazie.
Risposte
In generale in matematica smooth sta per "regolare quanto basta per fare i conti che seguono". In geometria differenziale di solito tutto è di classe $C^\infty$. La regolarità analitica no, va specificata se c'è.
Per quanto mi riguarda, sono abituato a considerare:
- "liscia" come significante "differenziabile q.b." (se mi serve analiticità, mi aspetto che sia detto "analitica", ma questo può forse dipendere dal contesto)
- "regolare" come soddisfacente appropriate (dato il contesto) condizioni di "non degenerazione" (tipo quelle del teorema di Dini)
Ma da quanto leggo, c'è chi ha una diversa "sensazione" (pur se ampiamente collimante con la mia)
- "liscia" come significante "differenziabile q.b." (se mi serve analiticità, mi aspetto che sia detto "analitica", ma questo può forse dipendere dal contesto)
- "regolare" come soddisfacente appropriate (dato il contesto) condizioni di "non degenerazione" (tipo quelle del teorema di Dini)
Ma da quanto leggo, c'è chi ha una diversa "sensazione" (pur se ampiamente collimante con la mia)
Grazie per le risposte. Mi sembra di poterle riassumere nella locuzione <>. Cioè mi aspetterei di trovare ad esempio:
- superficie regolare con indicazione di un classe $C^1$, $C^2$, $C^infty$, analitiche.
- superficie liscia senza necessariamente un'indicazione di classe che andrebbe dedotta grosso modo da quanto segue.
Allora provo a speculare un po' su quel <>. Quanto basta per cosa?
Data una varietà differenziabile è molto probabile che ci si voglia costruire sopra delle funzioni a loro volta regolari.
Una funzione su una varietà differenziabile è detta differenziabile (di classe $C^k$) se $f(h^-1)$ è differenziabile ($C^k$) su $B sube R^n$ per ogni carta $h:U to B$.
Allora per qualificare quel <> posso riferirmi alle funzioni che verranno costruite in seguito su questa varietà e al loro ordine di regolarità? In altre parole, secondo la definizione suddetta, per parlare di funzioni $C^k$ definite su una varietà differenziabile è necessario che la varietà sia di classe almeno $C^k$?
Ri-grazie.
- superficie regolare con indicazione di un classe $C^1$, $C^2$, $C^infty$, analitiche.
- superficie liscia senza necessariamente un'indicazione di classe che andrebbe dedotta grosso modo da quanto segue.
Allora provo a speculare un po' su quel <
Data una varietà differenziabile è molto probabile che ci si voglia costruire sopra delle funzioni a loro volta regolari.
Una funzione su una varietà differenziabile è detta differenziabile (di classe $C^k$) se $f(h^-1)$ è differenziabile ($C^k$) su $B sube R^n$ per ogni carta $h:U to B$.
Allora per qualificare quel <
Ri-grazie.
Ti direi di sì. Ma non vorrei indurti in inganno con un punto di vista che magari è soggettivo. Direi che altre risposte potrebbero essere utili.
Bene, allora non mi resta che sperare negli altri utenti del forum. Coraggio aprite i vostri cuori! 
Ma dai non lo sapevo, credevo che smooth fosse proprio sinonimo di $C^{oo}$.
Tempo fa mi feci anch'io la tua stessa domanda e mi diedi una risposta della quale (tanto per cambiare
) non sono sicuro che sia una risposta adeguata, diciamo... Per cui magari se ricevo una conferma è meglio. 
Quello che qui è indicato come lemma 7.1 non sarebbe più vero se la varietà non fosse almeno di classe $C^k$.
Si accettano conferme e/o smentite. Ciao.
Tempo fa mi feci anch'io la tua stessa domanda e mi diedi una risposta della quale (tanto per cambiare
) non sono sicuro che sia una risposta adeguata, diciamo... Per cui magari se ricevo una conferma è meglio. Quello che qui è indicato come lemma 7.1 non sarebbe più vero se la varietà non fosse almeno di classe $C^k$.
Si accettano conferme e/o smentite. Ciao.
Posso dire per esperienze recente che il termine smooth è usato anche per questioni relative alla Teoria della Misura, quindi in un contesto lontano anni luce dalla differenziabilità. Come piace dire al prof. de Lucia, smooth in realtà ha un'accezione piuttosto ampia.
La traduzione migliore di smooth che posso azzardare in generale è "buona", nel senso che parlo di smooth function quando voglio indicare una "funzione che è abbastanza buona -cioè ha tutte le proprietà giuste- per fare quello che penso di fare".
Ad esempio nel lavoretto che ho preparato, uso smooth per individuare funzioni di classe $C^1$ a tratti a supporto compatto...
La traduzione migliore di smooth che posso azzardare in generale è "buona", nel senso che parlo di smooth function quando voglio indicare una "funzione che è abbastanza buona -cioè ha tutte le proprietà giuste- per fare quello che penso di fare".
Ad esempio nel lavoretto che ho preparato, uso smooth per individuare funzioni di classe $C^1$ a tratti a supporto compatto...
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