Un problema con dati contraddittori?

[Reti77]

Buonsalve a tutti! Ho avuto alcuni dubbi su dove aprire questo topic, per cui se i moderatori ritengono che questa non sia la sezione adatta, sono liberi di spostarlo. Ciò premesso, esporrò ora la questione. E' stato assegnato un certo problema con dei dati che, se il mio ragionamento è corretto, portano a due risultati incompatibili; tuttavia, in una breve discussione, una delle due strade percorribili per risolvere il problema è stata scartata, dichiarandola errata (senza spiegazione), rendendo automaticamente "corretta" l'altra strada (e quindi l'altro risultato). Ma procediamo per gradi.

Siano [tex]L,C, \omega[/tex] numeri reali strettamente positivi, e siano: [tex]R \geq 0, G \geq 0[/tex] (reali). Indicando con [tex]j[/tex] l'unità immaginaria, definiamo:
[tex]Z_0 := \sqrt{ \frac{R +j \omega L} {G +j \omega C} } \ \ \ \gamma := \sqrt{ (R+j \omega L)(G +j \omega C) } \ \ \ \alpha := Re( \gamma ) \ , \ \beta := Im( \gamma )[/tex]
dove si è indicata con [tex]Re( \cdot )[/tex] la parte reale e con [tex]Im( \cdot )[/tex] la parte immaginaria (denoterò con [tex]| \cdot |[/tex] il modulo). A prescindere da altre considerazioni aggiuntive (che farò in seguito), l'obiettivo del problema è calcolare [tex]R[/tex] in funzione dei parametri noti (specificati di volta in volta). Consideriamo, dapprima, il caso [tex]G=0[/tex].

Proposizione 1.1. Per G=0, noti: [tex]|Z_0|, L, C, \omega[/tex], non sono necessarie ulteriori informazioni per calcolare [tex]R[/tex].
Proposizione 1.2. In aggiunta, l'unico modo affinché risulti [tex]R=0[/tex] è che risulti [tex]Z_0[/tex] reale. Più precisamente: [tex]Z_0= \sqrt{ \frac{L}{C} } \Leftrightarrow R=0[/tex].
Proposizione 1.3 Inoltre, noti i parametri di (1.1), [tex]\alpha[/tex] è fissato (non può essere scelto in modo arbitrario).

Sono abbastanza sicuro che le precedenti siano tutte vere. Il problema nasce dal fatto che i dati erano: [tex]|Z_0|, L, C, \omega, \alpha[/tex]. Quindi, c'era il "rischio" che fossero contraddittori. Tuttavia, il tutto potrebbe essere nato da una interpretazione forzata di una frase che, a mio parere, non significava che G fosse nullo (purtroppo, era una questione di sottigliezze terminologiche che non riguardano la matematica in senso stretto, evito di riportarle). Da cui, la vera domanda:
Domanda. Sapendo che R e G sono strettamente positivi, è sufficiente conoscere: [tex]|Z_0|, L, C, \omega, \alpha[/tex] per calcolare [tex]R[/tex] ?

Detto in altri termini: sapendo che [tex]R \neq 0[/tex], l'unico modo per sfruttare tutti i dati del problema (tutta l'informazione, quindi anche [tex]\alpha[/tex]) era assumere [tex]G \neq 0[/tex]. Assumere [tex]G=0[/tex] rende inutile conoscere [tex]\alpha[/tex].

Purtroppo, non ho ragionato sufficientemente a lungo da sbrogliare la matassa (ultimamente, ho davvero poco tempo per queste cose!), limitandomi a far vedere che:
[tex]Per \ \ G=0, \ \ \ R = \omega \sqrt{ |Z_0|^4 C^2 - L^2 }[/tex]
il ché, se corretto, dimostra le tre proposizioni. Tuttavia, non ho trovato il modo giusto di attaccare il problema con [tex]G \neq 0[/tex].

Thanks in advance!

EDIT: I dati numerici del problema (tralasciando le unità di misura) sono: [tex]\omega = 6,28*10^8, \ L = 8*10^{-7}, \ C = 296*10^{-12}, \ |Z_0| = 52, \ \alpha = 1,074[/tex]. Aggiungo anche la formula generale: [tex]R = \sqrt{ \omega^2(|Z_0|^4 C^2 - L^2) + |Z_0|^4 G^2}[/tex].

[Raptorista1]

Ho fatto un rapido conto ma mi sembra che la conoscenza di \(|Z_0|\) vincoli \(R\) se sai già che \(R > 0\), indipendentemente da quello che faccia \(G\).
Verificalo tu rifacendo il conto, è immediato!

[Reti77]

"Raptorista":Ho fatto un rapido conto ma mi sembra che la conoscenza di \(|Z_0|\) vincoli \(R\) se sai già che \(R > 0\), indipendentemente da quello che faccia \(G\).
Verificalo tu rifacendo il conto, è immediato!

Non capisco a quale conto ti riferisci, ma la vera domanda è: quali sono i dati noti (a quale problema ti stai riferendo)? Perché è tutta qui la questione. Nel primo post, mi ero dimenticato di segnalare la seguente formula generale (la cui utilità è, purtroppo, limitata):
[tex]R = \sqrt{ \omega^2(|Z_0|^4 C^2 - L^2) + |Z_0|^4 G^2}[/tex]
In altri termini, la conoscenza congiunta di [tex]|Z_0|, \omega, L, C, G[/tex] vincola [tex]R[/tex]. Solo che, mentre [tex]|Z_0|, \omega, L,C[/tex] sono tutti noti, non è così per [tex]G[/tex]. Riporto qui di seguito tutti i conti.

Premesse: [tex]|Z_0|, L, C, \omega[/tex] sono quantità note. [tex]G[/tex] non è noto (e ciò è un problema). Dato, però, che vogliamo solo cercare una formula generale per [tex]R[/tex] in funzione degli altri parametri, possiamo procedere assumendo [tex]G[/tex] noto.

Dimostrazione della formula generale. Utilizziamo la notazione in modulo e fase, poniamo:
[tex]R+j \omega L \triangleq \rho_1 e^{j \varphi_1} \ \ \ G+ j \omega C \triangleq \rho_2 e^{j \varphi_2} \ \ \ \ Z_0 \triangleq \rho_0 e^{j \varphi_0}[/tex]
dove [tex]\rho_0[/tex] è solo una diversa scrittura di [tex]|Z_0|[/tex]. Osserviamo che conoscere [tex]\rho_1[/tex] equivale a conoscere [tex]R[/tex]. Dalla definizione di [tex]Z_0[/tex], segue:
[tex]\rho_0 e^{j \varphi_0} = \sqrt{ \frac{ \rho_1 }{ \rho_2} e^{j(\varphi_1 - \varphi_2)} }[/tex]
Consideriamo l'equazione che governa i moduli:
[tex]\rho_0 = \sqrt { \frac{ \rho_1 }{ \rho_2} } \rightarrow \rho_1 = \rho_0^2 \rho_2[/tex]
Osservando ora che: [tex]\rho_1^2 = R^2 + \omega^2 L^2[/tex] e che [tex]\rho_2^2 = G^2 + \omega^2 C^2[/tex], si ha:
[tex]R = \sqrt{ \rho_1^2 - \omega^2 L^2 } = \sqrt { \rho_0^4 \rho_2^2 - \omega^2 L^2}[/tex]
da cui infine:

[tex]Formula \ generale: \ \ R = \sqrt{ \omega^2(|Z_0|^4 C^2 - L^2) + |Z_0|^4 G^2}[/tex]

Osservazione 1. Per G=0, [tex]\alpha[/tex] è un dato inutile, in quanto non c'è più nessun elemento non-noto presente nella formula.
Osservazione 2. L'applicabilità della formula generale è pesantemente limitata dal fatto che [tex]G[/tex] non è noto, il ché rende impossibile calcolare numericamente [tex]R[/tex].

P.S. Per chi fosse interessato, tralasciando le unità di misura (irrilevanti ai fini della discussione), i dati numerici del problema sono:
[tex]\omega = 6,28*10^8[/tex]
[tex]L = 8*10^{-7}[/tex]
[tex]C = 296*10^{-12}[/tex]
[tex]|Z_0| = 52[/tex]
[tex]\alpha = 1,074[/tex]
Chiaramente, il problema va prima risolto per via simbolica e solo a valle vanno sostituiti i numeri (per quest'ultima parte, ovviamente, è lecito approssimare). Attenzione che, assumendo [tex]G=0[/tex], [tex]\alpha[/tex] è un dato contraddittorio (oltre che inutile).

[Raptorista1]

In effetti mi sono espresso male, quello che intendevo dire è che la conoscenza di \(|Z_0|\) permette di ricavare \(R\), che però dipende sempre da \(G\) e da tutti gli altri parametri.
Ovviamente il valore di \(R\) diventa calcolabile non appena scegli \(G = 0\) [o \(G = 1\) o altro] e quindi la condizione su \(\alpha\) diventa, come dici tu, un ON/OFF [è vera o falsa, non è imponibile come condizione].

[Reti77]

Ed è esattamente da quella considerazione che sono nati tutti i problemi. Ad ogni modo, il problema è mal posto, c'è poco da fare. Grazie comunque