Un po di confusione sugli integrali

[wylde67]

1) Se mi si presenta un integrale improprio (del tipo $ int_(a)^(b) f(x) dx $ oppure $ int_(a)^(oo ) f(x) dx $ ) e devo verificare se diverge o converge, ma la funzione varia da valori positivi a negativi (o viceversa), la studio in valore assoluto. Se converge assolutamente per calcolare l'integrale devo comunque metterlo in valore assoluto?
2) Se ho un integrale definito di una funzione che varia da valori positivi a negativi devo spezzarlo con l'opportno segno per calcolarlo?
3) Quando calcolo un qualsiasi integrale usando la sostitzione t= g(x) (esempio), g(x) deve essere sempre invertibile per esplicitare la x giusto?

[Noisemaker]

[*:1rfs4ui8] Se hai un integrale improprio, se riesci a calcolarlo esplicitamente, cioè trovare l'insieme delle primitive, non ti serve applicare la convergenza assoluta, perchè lo calcoli, appunto, esplicitamente; la convergenza assoluta la applichi per poter fare un confronto asintotico della funzione integranda;[/*:m:1rfs4ui8]
[*:1rfs4ui8] se la funzione integranda è continua nell'intervallo di integrazione puoi sceliere come meglio credere come spezzarlo: infatti essendo continua vale la proprietà di addittivà dell'intervallo d'integrazione;[/*:m:1rfs4ui8]
[*:1rfs4ui8]la formula di integazione per sostituzione prevede che se $f:[a;b]\to\RR$ è una funzione continua, e se $x=\phi(t)$ un cambiamento di variabile tale che $\phi:I\to\RR$ è derivabile con derivata continua, $\phi\inC^1(I),$ allora
\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x)\,\,dx=\int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\,\,dt:
\end{align}
la formula di integrazione per sostituzione ci dice come si trasforma l’integrale dopo un cambiamento di
variabile della forma
\begin{align}
x = \varphi(t)\Leftrightarrow t = \varphi^{-1}(x)
\end{align}
tramite una $\phi$ invertibile.[/*:m:1rfs4ui8][/list:u:1rfs4ui8]

[wylde67]

Grazie!