Un po' di analisi 1

[Sk_Anonymous]

Studiare la funzione:

$f(x)=e^(log^3x)-1$

Calcolare:

1) $int_-1^1xe^(x^2)sin(x^2)dx$

2) $int(16x^4+8x^3-1)/(4x^3-x)dx$

3) $intx^5/(x^4-1)dx$

4) $int1/(x^3-1)dx$

5) $int_1^2x/((x+1)sqrt(x-1))$

Mi piacerebbe sapere la vostra classifica sul grado di difficolta dei suddetti integrali,in ordine crescente.

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Studiare la funzione:

$f(x)=e^(log^3x)-1$

Calcolare:

1) $int_-1^1xe^(x^2)sin(x^2)dx$

2) $int(16x^4+8x^3-1)/(4x^3-x)dx$

3) $intx^5/(x^4-1)dx$

4) $int1/(x^3-1)dx$

5) $int_1^2x/((x+1)sqrt(x-1))$


Mi piacerebbe sapere la vostra classifica sul grado di difficolta dei suddetti integrali,in ordine crescente.

$f(x)=e^(log^3x)-1$
a)Dominio:$(0,+infty)$
b)$f(x)=0->e^(ln^3x)=1->ln^3x=0->lnx=0->x=1$
c)$f(x)>0->e^(ln^3x)>1->ln^3x>0->lnx>0->x>1$
d)$lim_(x->0^+)f(x)=-1$ cioè la funzione in $x=0$ è prolungabile per continuità.
$lim_(x->+infty)f(x)=+infty$
Non ci sono quindi asintoti verticali, e nemmeno gli obliqui.
e)$f'(x)=3/x*(ln^2x)*e^(log^3x)>0->(ln^2x)/x>0->$ in $(0,1)$ U $(1,+infty)$, quindi la funzione è crescente.
In particolare la funzione è derivabile anche in $x=0$ poichè $lim_(x->0^+)f'(x)=0$
f)$f''(x)=e^(ln^3x)*lnx*(lnx+1)(3ln^2x-3lnx+2)=0->lnx=0->x=1,lnx=-1->x=1/e$. Ora $(1,0)$ è un flesso a tangente orizzontale, mentre $(1/e,1/e-1)$ è un flesso a tangente obliqua


1) $int_-1^1xe^(x^2)sin(x^2)dx=0$ perchè la funzione integranda è dispari e l'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all'origine.
2)$(16x^4+8x^3-1)/(4x^3-x)=2+1/x+4x+2/(2x-1)-1/2*(8x)/(4x^2-1)$ per cui
$int(16x^4+8x^3-1)/(4x^3-x)dx=2x+ln|x|+2x^2+2ln|2x-1|-1/2*ln|4x^2-1|+K$
3)$x^5/(x^4-1)=x+1/4*(2x)/(x^2-1)-1/4*(2x)/(x^2+1)$ per cui
$intx^5/(x^4-1)dx=x^2/2+1/2ln|x^2-1|-1/4*ln|x^2+1|=x^2/2+1/4*ln(|(x^2-1)|/(x^2+1))+K$
4)$1/(x^3-1)=1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-2/(3(1+1/3(2x+1)^2))$ per cui
$int1/(x^3-1)dx=1/3*ln|x-1|-1/6*ln(x^2+x+1)-1/(sqrt3)*arctg((2x+1)/(sqrt3))+K$
5)$sqrt(x-1)=t->x=t^2+1->dx=2tdt$. inoltre $x=1->t=0,x=2->t=1$ per cui
$int_1^2x/((x+1)sqrt(x-1))=int_{0}^{1}2(t^2+1)/(t^2+2)dt=2int_{0}^{1}(t^2+2-1)/(t^2+2)dt$=
$2int_{0}^{1}dt-2int_{0}^{1}1/(2(1+(t/(sqrt2))^2))dt$=
$2int_{0}^{1}dt-sqrt2*int_{0}^{1}(1/(sqrt2))/(1+(t/(sqrt2))^2)dt$
=$2-sqrt2*[arctg(t/(sqrt2)]_{0}^{1}=2-sqrt2*arctg(1/(sqrt2))$

[Sk_Anonymous]

Alla luce di quanto detto:

$f(x)={(e^(ln^3x)-1 if x>0),(-1 if x=0^+):}

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Alla luce di quanto detto:

$f(x)={(e^(ln^3x)-1 if x>0),(-1 if x=0^+):}

yes

[Sk_Anonymous]

Per quanto riguarda l'integrale 5) si osservi che l'integrando è infinito per $x=1$ e definito per $x>1$ $=> I=lim_(x->1^+)F(x)$ ove $F(x)$ è la primitiva(è un integrale improprio,non definito.).In ogni caso il risultato che si ottiene è uguale al tuo.