Un piccolo integrale improprio
Mi si chiede di calcolare per quali $a$ si ha divergenza in: $\lim_{s\to 0^+}\int_s^(s_\infty)e^(-c\frac{x^(a+1)}{a+1}) dx$, con $c,s_\infty >0$. La soluzione deve essere $a+1<0$, ma non so come arrivarci. L'unica cosa che ho provato a fare è stato sviluppare in serie l'integranda, chiamando $b:=a+1$ e $k:=\frac{c}{a+1}$, mi viene fuori che $f(x)=e^(-kx^b)$ in zero va come $1-kx^b$ ma non ne sono neanche troppo sicuro. Comunque, proseguendo per questa strada, mi verrebbe che l'integrale diverge per $b\le -1$ quindi diverso da quella che è la soluzione. Grazie per l'eventuale aiuto 
Risposte
Se \(a+1 > 0\) la funzione è limitata, quindi integrabile.
Se \(a+1 < 0\), poniamo \(k := -\frac{c}{a+1} > 0\), \(\alpha := -(a+1) > 0\); la funzione integranda è dunque
\[
f(x) = e^{k / x^{\alpha}}\,.
\]
Questa funzione, per \(x\to 0^+\), diverge a \(+\infty\) più rapidamente di qualsiasi potenza positiva di \(1/x\), vale a dire
\[
\lim_{x\to 0+} x^{\beta} e^{k / x^{\alpha}} = +\infty\,.
\]
In particolare, scegliendo \(\beta = 1\) si ha che
\[
f(x) \geq \frac{1}{x}
\]
in un intorno destro dell'origine, quindi \(f\) non è integrabile in senso generalizzato in un intorno destro dell'origine.
Se \(a+1 < 0\), poniamo \(k := -\frac{c}{a+1} > 0\), \(\alpha := -(a+1) > 0\); la funzione integranda è dunque
\[
f(x) = e^{k / x^{\alpha}}\,.
\]
Questa funzione, per \(x\to 0^+\), diverge a \(+\infty\) più rapidamente di qualsiasi potenza positiva di \(1/x\), vale a dire
\[
\lim_{x\to 0+} x^{\beta} e^{k / x^{\alpha}} = +\infty\,.
\]
In particolare, scegliendo \(\beta = 1\) si ha che
\[
f(x) \geq \frac{1}{x}
\]
in un intorno destro dell'origine, quindi \(f\) non è integrabile in senso generalizzato in un intorno destro dell'origine.
perfetto, chiaro e coinciso, ti ringrazio!
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