Un passaggio di una dimostrazione di MVT per le curve

[marco2132k]

Sia \( \gamma\colon \left[a,b\right]\to F \) una curva (=funzione continua) a valori in uno spazio normato \( F \) (chi vuole faccia pure \( F = \mathbb R^n \)). Fissato un qualche \( m > 0 \) e posto
\[
A_\epsilon = \left\{t\in \left[a,b\right] : \lVert \gamma(t) - \gamma(a)\rVert \leqq (m + \epsilon)(t - a) + \epsilon\right\}
\] dev'essere che \( l = \sup A_\epsilon\in A_\epsilon \). Sto impazzendo: perché?

Sicuramente \( A_\epsilon \) è non vuoto (perché \( \gamma \) è continua in \( a \), e quindi esiste un \( \delta > 0 \) tale che
\[
\lVert \gamma(t) - \gamma(a)\rVert < \epsilon \leqq (m + \epsilon)\left((a + \delta) - a\right) + \epsilon
\] per ogni \( t\in \left[a,a + \delta\right] \), e quindi si ha \( \left[a,a + \delta\right]\subset A_\epsilon \).) Allora \( l \) è ben definito, è \( a < l\leqq b \), e so dire che per qualche \( \delta > 0 \) vale
\[
\lVert \gamma(l) - \gamma(t)\rVert \leqq (m + \epsilon)(l - a) + \epsilon
\] per ogni \( t\in \left[l - \delta,l + \delta\right] \) (come prima, siccome \( \gamma \) è continua in \( l \) si ha
\[
\lVert \gamma(l) - \gamma(t)\rVert < \epsilon \leqq (m + \epsilon)(l - a) + \epsilon
\] per tutti i \( t \) nell'intorno \( \left[l - \delta,l + \delta\right] \) di \( l \), perché \( (m + \epsilon)(l - a) \) è una quantità positiva.)

Come faccio quindi a dimostrare che
\[
\lVert \gamma(l) - \gamma({\color{red}a})\rVert \leqq (m + \epsilon)(l - a) + \epsilon
\] e quindi a concludere che \( l\in A_\epsilon \)?

EDIT. Ho aggiunto praticamente tutti i passaggi con la speranza che la cosa diventi più leggibile.

[Wilde1]

Non ho letto molto attentamente.
Ma scusami, fissato un valore di $m$ e $\epsilon$, considerando la funzione definita su $[a,b]$ a valori in $R$ definita dalla legge
\[
t \longmapsto \left[ \lVert \gamma(t) - \gamma(a)\rVert - (m + \epsilon)(t - a) \right]
\]
posso dire che è continua??

[marco2132k]

Le ore di sonno oggi non sono più di quattro, quindi in caso scusami. La risposta è "sì" perché è somma di due funzioni continue (e cioè \( \lVert \gamma(t) - \gamma(a)\rVert \) e \( (m + \epsilon)(t - a) \); la norma è continua perché è lipschitziana: \( \left\lvert\lVert x\rVert - \lVert y\rVert\right\rvert\leqq \lVert x - y\rVert \)).

Non ho capito a cosa ti serve questo fatto (non ci ho neanche pensato in realtà).

[Wilde1]

Chiamando con $g_{m,\epsilon}$ la funzione precedentemente definita,
Cosa puoi dire topologicamente dell'insieme
\[
A_\epsilon = \left\{t\in \left[a,b\right] : g_{m,\epsilon}(t)\leqq + \epsilon\right\} = g_{m,\epsilon}^{-1}\left( (-\infty,\epsilon] \right)
\cap [a,b]
\]
è aperto?chiuso? (chiaramente come sottoinsieme di $R$ con l'usuale topologia euclidea)