Un paio di serie
dovrei trovare per quali valori di x le seguenti serie convergono.
Però non so come procedere.Vi faccio vedere i passaggi che faccio e quindi il punto dove mi blocco. spero possiate darmi una mano
A) $ sum_(n = 0)^(oo) n*x^(n!) $ applico il criterio del rapporto ottenendo questa cosa:
$ lim_(n -> +oo) ((n+1)*x^((n+1)!) )/ (n*x^(n!)) = lim_(n -> oo) ((n+1)*x^((n+1)n!) )/ (n*x^(n!)) $ se usare il criterio del rapporto è la strada giusta arrivato a questo punto non so più come semplificare
B) $ sum_(n = 1)^( oo) (x^n) / (1+x^(2n)) $ qui applico il criterio della radice
$ lim_(n -> +oo) root(n)((x^n)/(1+x^(2n)))= x / root(n)(x^(2n)(1/x^(2n)+1) ) = x / (x^2 * (1/x^(2n) + 1)^(1/n) )= x / x^2* 1 / (x^(-2n)+1)^(1/n) = 1/ x* 1 / (x^(-2n)+1)^(1/n) $ arrivato a questo punto come devo procedere?
spero di essere stato chiaro e che i passaggi si capiscono.....confido in un vostro aiuto
grazie!
Però non so come procedere.Vi faccio vedere i passaggi che faccio e quindi il punto dove mi blocco. spero possiate darmi una mano
A) $ sum_(n = 0)^(oo) n*x^(n!) $ applico il criterio del rapporto ottenendo questa cosa:
$ lim_(n -> +oo) ((n+1)*x^((n+1)!) )/ (n*x^(n!)) = lim_(n -> oo) ((n+1)*x^((n+1)n!) )/ (n*x^(n!)) $ se usare il criterio del rapporto è la strada giusta arrivato a questo punto non so più come semplificare
B) $ sum_(n = 1)^( oo) (x^n) / (1+x^(2n)) $ qui applico il criterio della radice
$ lim_(n -> +oo) root(n)((x^n)/(1+x^(2n)))= x / root(n)(x^(2n)(1/x^(2n)+1) ) = x / (x^2 * (1/x^(2n) + 1)^(1/n) )= x / x^2* 1 / (x^(-2n)+1)^(1/n) = 1/ x* 1 / (x^(-2n)+1)^(1/n) $ arrivato a questo punto come devo procedere?
spero di essere stato chiaro e che i passaggi si capiscono.....confido in un vostro aiuto
grazie!
Risposte
A) Comincia a togliere le $x$ per cui non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza. Per le altre pensa al confronto asintotico.
B) A occhio il criterio del rapporto è più amichevole come conti. Hai provato?
B) A occhio il criterio del rapporto è più amichevole come conti. Hai provato?
nella A) non so se posso semplificare l'n! in questo modo
$ lim_(n -> oo) ((n+1)*x^((n+1)n!))/ (n*x^(n!)) = lim_(n -> oo) ((n+1)*x^((n+1)))/ (n*x) = lim_(n -> oo) ((n+1)*x^(n)*x)/ (n*x)= lim_(n -> oo) (n+1)/n * lim_(n -> oo) x^n = 1 * lim_(n -> oo) x^n $
quindi converge per |x|<1, perchè quando |x|<1 allora quel limite è 0 zero è minore di uno quindi per il criterio del rapporto converge....giusto?
B) qui facendo il criterio del rapporto ottrengo questa cosa:
$ lim_(n -> +oo) (x^(n+1)) / (1+x^(2(n+1)))* (1+x^(2n)) / x^n = lim_(n -> +oo) (x^n*x*(1+x^(2n)))/ ((1+x^(2n)*x^2) * x^n) = lim_(n -> +oo) (x*(1+x^(2n)))/ ((1+x^(2n)*x^2)) $
e qui come semplifico?
$ lim_(n -> oo) ((n+1)*x^((n+1)n!))/ (n*x^(n!)) = lim_(n -> oo) ((n+1)*x^((n+1)))/ (n*x) = lim_(n -> oo) ((n+1)*x^(n)*x)/ (n*x)= lim_(n -> oo) (n+1)/n * lim_(n -> oo) x^n = 1 * lim_(n -> oo) x^n $
quindi converge per |x|<1, perchè quando |x|<1 allora quel limite è 0 zero è minore di uno quindi per il criterio del rapporto converge....giusto?
B) qui facendo il criterio del rapporto ottrengo questa cosa:
$ lim_(n -> +oo) (x^(n+1)) / (1+x^(2(n+1)))* (1+x^(2n)) / x^n = lim_(n -> +oo) (x^n*x*(1+x^(2n)))/ ((1+x^(2n)*x^2) * x^n) = lim_(n -> +oo) (x*(1+x^(2n)))/ ((1+x^(2n)*x^2)) $
e qui come semplifico?
nessun aiuto?
ancora niente.....
[mod="dissonance"]@julio: Ti ricordo che su questo forum non sono ammesse sollecitazioni di tipo "UP" prima di 24 ore. Vedi
https://www.matematicamente.it/forum/su- ... 41906.html
[/mod]
https://www.matematicamente.it/forum/su- ... 41906.html
[/mod]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo