Un paio di limiti,ed integrali con radici multiple complesse
Ciao a tutti 
Domani ho l'esame di analisi, ho un paio di dubbi su limiti con forme indeterminate +infinito -infinito
Non so fare per esempio limiti del genere
Ho provato in entrambi a mettere in evidenza uno dei due termini ed a fare lo sviluppo di taylor dell'altro ma mi viene un casino... Se qualcuno mi spiegasse un metodo veloce per fare questo genere di limiti gliene sarei grato
Poi per quanto riguarda gli integrali, nel caso nel denominatore ci sono radici complesse multiple io in genere uso la scomposizione di hermite. Il mio dubbio pero riguarda cosa mettere al numeratore nella derivata del polinomio della scomposizione di hermite. Fin'ora me la sono sempre cavata mettendo un polinomio del tipo Ax + C, ma si mette sempre di primo grado? Per esempio se ho una situazione del genere
la devo scomporre in questo modo?
oppure che grado devo mettere al numeratore del polinomio dopo d/dx?
grazie in anticipo per le risposte
Sono piu urgenti i limiti, visto che per gli integrali è una pura curiosità mia, visto che non sono mai capitati integrali del genere per il momento
Domani ho l'esame di analisi, ho un paio di dubbi su limiti con forme indeterminate +infinito -infinito
Non so fare per esempio limiti del genere
Ho provato in entrambi a mettere in evidenza uno dei due termini ed a fare lo sviluppo di taylor dell'altro ma mi viene un casino... Se qualcuno mi spiegasse un metodo veloce per fare questo genere di limiti gliene sarei grato
Poi per quanto riguarda gli integrali, nel caso nel denominatore ci sono radici complesse multiple io in genere uso la scomposizione di hermite. Il mio dubbio pero riguarda cosa mettere al numeratore nella derivata del polinomio della scomposizione di hermite. Fin'ora me la sono sempre cavata mettendo un polinomio del tipo Ax + C, ma si mette sempre di primo grado? Per esempio se ho una situazione del genere
la devo scomporre in questo modo?
oppure che grado devo mettere al numeratore del polinomio dopo d/dx?
grazie in anticipo per le risposte
Sono piu urgenti i limiti, visto che per gli integrali è una pura curiosità mia, visto che non sono mai capitati integrali del genere per il momento
Risposte
Ti risolvo il secondo limite, il primo ha troppi calcoli per una domenica pomeriggio, ma il criterio è lo stesso
$lim_(x->+oo)(sqrt(ln(1+x))-sqrt(lnx))=lim_(x->+oo)(sqrt(ln(1+x))-sqrt(lnx))*(sqrt(ln(1+x))+sqrt(lnx))/(sqrt(ln(1+x))+sqrt(lnx))=lim_(x->+oo)(ln(1+x)-lnx)/(sqrt(ln(1+x))+sqrt(lnx))=lim_(x->+oo)(ln((1+x)/x))/(sqrt(ln(1+x))+sqrt(lnx))$
il numeratore $->0$, il denominatore $->+oo$, quindi il limite tende a $0$
Anche l'altro limite si dovrebbe risolvere "razionalizzando" il numeratore, ma con molti più calcoli, forse c'è una strada migliore.
$lim_(x->+oo)(sqrt(ln(1+x))-sqrt(lnx))=lim_(x->+oo)(sqrt(ln(1+x))-sqrt(lnx))*(sqrt(ln(1+x))+sqrt(lnx))/(sqrt(ln(1+x))+sqrt(lnx))=lim_(x->+oo)(ln(1+x)-lnx)/(sqrt(ln(1+x))+sqrt(lnx))=lim_(x->+oo)(ln((1+x)/x))/(sqrt(ln(1+x))+sqrt(lnx))$
il numeratore $->0$, il denominatore $->+oo$, quindi il limite tende a $0$
Anche l'altro limite si dovrebbe risolvere "razionalizzando" il numeratore, ma con molti più calcoli, forse c'è una strada migliore.
Allora, per il primo limite proviamo a razionalizzare e vedere che succede: abbiamo
$lim_(xto +oo)3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))-2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2))=lim_(xto +oo)(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))-2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2)))*(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2)))/(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2)))=lim_(xto +oo) (3^(2/x)*(x^2+1)/(x+3)-2^(2/x)*(x^2-1)/(x+2))/(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2)))=lim_(xto +oo) (3^(2/x)*(x^2+1)*(x+2)-2^(2/x)*(x^2-1)*(x+3))/((x+2)*(x+3)*(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2))))$.
Consideriamo la frazione sotto il segno di limite nell'ultimo membro: il denominatore è un prodotto di tre infiniti, due di ordine $1$ e il rimanente d'ordine $1/2$, pertanto il denominatore è un infinito in $+oo$ d'ordine $1+1+1/2=5/2$; il numeratore l'esponente massimo a cui figura elevata la variabile $x$ è $3$ ed il termine $x^3$ è moltiplicato per la funzione $3^(1/x)-2^(1/x)$; risultando:
$lim_(x to +oo) ((3^(1/x)-2^(1/x))*x^3)/(x^(5/2))=lim_(x to +oo) (3^(1/x)-2^(1/x))*x^(1/2)=lim_(x to +oo) 2^(1/x)*((3/2)^(1/x)-1)*x^(1/2)=lim_(x to +oo) 2^(1/x)*((3/2)^(1/x)-1)/(1/x)*(1/x)*x^(1/2)=lim_(x to +oo) 2^(1/x)*((3/2)^(1/x)-1)/x*x^(-1/2)=1*log(3/2)*0=0$
l'infinito al denominatore è d'ordine superiore a quello del numeratore e perciò abbiamo:
$lim_(xto +oo)3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))-2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2))=lim_(xto +oo) (3^(2/x)*(x^2+1)*(x+2)-2^(2/x)*(x^2-1)*(x+3))/((x+2)*(x+3)*(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2))))=0$.
Ovviamente meglio ricontrollare tutto il procedimento, nel caso mi sia perso qualcosa per strada.
$lim_(xto +oo)3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))-2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2))=lim_(xto +oo)(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))-2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2)))*(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2)))/(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2)))=lim_(xto +oo) (3^(2/x)*(x^2+1)/(x+3)-2^(2/x)*(x^2-1)/(x+2))/(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2)))=lim_(xto +oo) (3^(2/x)*(x^2+1)*(x+2)-2^(2/x)*(x^2-1)*(x+3))/((x+2)*(x+3)*(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2))))$.
Consideriamo la frazione sotto il segno di limite nell'ultimo membro: il denominatore è un prodotto di tre infiniti, due di ordine $1$ e il rimanente d'ordine $1/2$, pertanto il denominatore è un infinito in $+oo$ d'ordine $1+1+1/2=5/2$; il numeratore l'esponente massimo a cui figura elevata la variabile $x$ è $3$ ed il termine $x^3$ è moltiplicato per la funzione $3^(1/x)-2^(1/x)$; risultando:
$lim_(x to +oo) ((3^(1/x)-2^(1/x))*x^3)/(x^(5/2))=lim_(x to +oo) (3^(1/x)-2^(1/x))*x^(1/2)=lim_(x to +oo) 2^(1/x)*((3/2)^(1/x)-1)*x^(1/2)=lim_(x to +oo) 2^(1/x)*((3/2)^(1/x)-1)/(1/x)*(1/x)*x^(1/2)=lim_(x to +oo) 2^(1/x)*((3/2)^(1/x)-1)/x*x^(-1/2)=1*log(3/2)*0=0$
l'infinito al denominatore è d'ordine superiore a quello del numeratore e perciò abbiamo:
$lim_(xto +oo)3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))-2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2))=lim_(xto +oo) (3^(2/x)*(x^2+1)*(x+2)-2^(2/x)*(x^2-1)*(x+3))/((x+2)*(x+3)*(3^(1/x)*sqrt((x^2+1)/(x+3))+2^(1/x)*sqrt((x^2-1)/(x+2))))=0$.
Ovviamente meglio ricontrollare tutto il procedimento, nel caso mi sia perso qualcosa per strada.
ho capito, grazie ragazzi... quindi nel caso abbia forme indeterminate del tipo +infinito -infinito mi conviene sempre razionalizzare moltiplicando numeratore e denominatore per diciamo il "coniugato" della funzione?
poi una cosa, nel secondo limite, per limitare i calcoli, si potrebbe fare all'inizio uno sviluppo deli due esponenziali?
poi una cosa, nel secondo limite, per limitare i calcoli, si potrebbe fare all'inizio uno sviluppo deli due esponenziali?
Lo sviluppo degli esponenziali è inutile perchè hanno limite finito (ed uguale ad $1$); d'altra parte i radicandi tendono a $+oo$ e quindi non è pensabile uno sviluppo in serie di Taylor dei radicali.
"gugo82":
Lo sviluppo degli esponenziali è inutile perchè hanno limite finito (ed uguale ad $1$); d'altra parte i radicandi tendono a $+oo$ e quindi non è pensabile uno sviluppo in serie di Taylor dei radicali.
ok, grazie
volevo chiedere un'altra cosa se è possibile:
Se un esercizio mi chiede: studiare la sommabilità di una funzione nell'intervallo [0,2], cosa devo fare precisamente?
Non mi sembra che il professore ci abbia parlato di una cosa del genere nel corso, ma in alcuni suoi compiti passati c'è
Significa se la funzione $ f(x) $ è integrabile in $[0,2]$ , se esiste cioè finito l'integrale $int_0^2 f(x)dx $.
"Camillo":
Significa se la funzione $ f(x) $ è integrabile in $[0,2]$ , se esiste cioè finito l'integrale $int_0^2 f(x)dx $.
la funzione che da di solito però non è integrabile con le funzioni elementari, quindi leggevo sul libro che bisogna verificare se ci sono discontinuità nell'intervallo e verificarne l'ordine, se sono tutte minori di uno è integrabile, o almeno credo
Per decidere se la funzione è integrabile non è necessario saperla integrare .Basta vedere di che ordine è l'infinito nel punto di discontinuità ( parlando di dominio di integrazione limitato ) ; se è di ordine $< 1 $ allora è integrabile .
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