Un limite di successioni con "puntini"

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Salve a tutti, mi è capitato tra le mani un limte che non avevo mai visto perchè ha dei puntini, cioè :

$\lim_{n \to \infty}((n)/(root(n)(n(n+1)....(2n-1)))$

Dunque io avevo pensato di elevare il numeratore a n e poi portarlo sotto radice ennesima, fatto questo chiamo la successione dentro la radice ennesima $a_n$
Poi calcolo il limite della successione $a_(n+1)/a_n$ e infine per il teorema della media geometrica so che questo limite è uguale proprio al limite della successione iniziale..

Il mio problema è di carattere formale più che altro perchè quando faccio il limite di $a_(n+1)/a_n$ dovrei fare le dovute semplificazioni e per colpa di quei puntini non so come semplificare... insomma che significano i puntini? C'è un modo per toglierli o raggruppare?

[Sk_Anonymous]

Non si tratta altro che di un prodotto: \[\displaystyle n \cdot (n+1) \cdot \dots \cdot (2n-1) \] esempio numerico: per \(\displaystyle n=5 \) si avrebbe \[\displaystyle 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \]

Nel tuo caso specifico si ha che \[\displaystyle 2n-1=\sqrt[n]{\begin{matrix} \underbrace{(2n-1) \cdot (2n-1) \cdot \dots \cdot (2n-1)}_{n \; \text{volte}}\end{matrix}} \ge \sqrt[n]{n \cdot (n+1) \cdot \dots \cdot (2n-1)} \ge \sqrt[n]{\begin{matrix} \underbrace{n \cdot n \cdot \dots \cdot n}_{n \; \text{volte}}\end{matrix}}=n \] da cui \[\displaystyle \frac{n}{2n-1} \le \frac{n}{\sqrt[n]{n \cdot (n+1) \cdot \dots \cdot (2n-1)}} \le 1 \] e una bella stima sul limite.
Dipende poi dalla consegna dell'esercizio: se vuoi il valore esatto del limite devi lavorare ancora un attimino, però intanto hai guadagnato informazioni intorno alla convergenza.

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Grazie Delirium! Ho capito dove sbagliavo..l'esempio numerico è stato illuminante

Sul risultato del limite ora non ci sono problemi perchè l'ho risolto con la media geometrica, il motivo della mia perplessità erano quei puntini diabolici.. ma grazie a te è tutto risolto!