Un limite con i logaritmi

[LucaC1]

ln ( 1+log x ) dove ln sta per logaritmo naturale ..
come diventa ?? dv risolvere un limite e nn so come scomporre questo log , grazie !

[kate-sweet]

ma dici con taylor?

[gugo82]

[xdom="gugo82"]@LucaC: Titolo piu` specifico e formule scritte per bene, grazie.[/xdom]

[LucaC1]

$lim_(x->1+)(1+log x)^{1/(sqrt(x^2-1))}$

questo è il limite : io ho utilizzato $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) ln f(x)}$ ..dove ln è logaritmo naturale ,utlizzando ciò ottengo

$lim_(x->1+)(e)^{ln(1+logx)/(sqrt(x^2-1))}$ e adesso?

[smaug1]

Il risultato qual è?

[smaug1]

Devo fare una domanda a chi ti risponderà:

Si può usare questa formula: \(\displaystyle f(x)^{g(x)} = e^{(f(x) - 1)(g(x))} ? \)

Verrebbe così:

\(\displaystyle e^{\frac{logx}{\sqrt{x^2-1}}} \) di conseguenza basterebbe studiare:

\(\displaystyle

\frac{logx}{\sqrt{x^2-1}} \) sembra banale ma non riesco con sicurezza sui passaggi a risolvere quest'ultimo limite...

[gugo82]

"LucaC":$lim_(x->1+)e^{ln(1+logx)/(sqrt(x^2-1))}$ e adesso?

Beh, adesso ti basta calcolare:
\[
\lim_{x\to 1^+} \frac{\ln (1+\log x)}{\sqrt{x^2 -1}}\ldots
\]
Vediamo come.
Innanzitutto, nota che \(x^2-1=(x+1)(x-1)\) quindi \(\sqrt{x^2 -1} =\sqrt{x+1}\ \sqrt{x -1}\) ed il primo fattore non ti da` problemi al limite; poi ricordando il limite notevole \(\lim_{y\to 0} \frac{\ln (1+y)}{y}=1\), hai certamente:
\[
\lim_{x\to 1^+} \frac{\ln (1+\log x)}{\log x} =1
\]
(perche` \(y=\log x\to 0\)), quindi il tuo limite si riscrive:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 1^+} \frac{\ln (1+\log x)}{\sqrt{x^2 -1}} &= \lim_{x\to 1^+} \frac{1}{{\sqrt{x -1}}}\ \frac{\ln (1+\log x)}{\sqrt{x -1}}\\
& = \lim_{x\to 1^+} \underbrace{\frac{1}{{\sqrt{x -1}}}}_{\to 1/\sqrt{2}}\ \underbrace{\frac{\ln (1+\log x)}{\log x}}_{\to 1}\ \frac{\log x}{\sqrt{x -1}}
\end{split}
\]
e percio` basta calcolare \(\lim_{x\to 1^+} \frac{\log x}{\sqrt{x -1}}\) per ottenere il risultato. Facendo il cambiamento di variabile \(t=x-1\) e ricordando il limite notevole \(\lim_{y\to 0} \frac{\log_a (1+y)}{y}=1/\ln a\) si trova:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 1^+} \frac{\log x}{\sqrt{x -1}} & \stackrel{t=x-1}{=} \lim_{t\to 0^+} \frac{\log (1+t)}{\sqrt{t}} \\
&= \lim_{t\to 0^+} \frac{\log (1+t)}{t}\ \frac{t}{\sqrt{t}} \\
&=\frac{1}{\ln 10}\cdot 0 =0
\end{split}
\]
Mettendo tutto insieme si trova infine:
\[
\lim_{x\to 1^+} \frac{\ln (1+\log x)}{\sqrt{x^2 -1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1 \cdot 0 =0\; .
\]

[LucaC1]

grazie mille gugo !sei stato chiarissimo!