Un limite che non riesco a risolvere
ciao a tutti,
ho sotto al naso questo limite che non riesco a risolvere:
$lim_{x,y -> 0,0} \frac{x-1}{ln(1+\frac{y}{x})}$
ho pensato di scambiare il logaritmo $ln(1+\frac{y}{x})$ con $\frac{y}{x}$, per $x,y -> 0,0$. ma già qui avrei bisogno di una conferma (e anzi di una "dimostrazione", perchè io sono del parere che questa sostituzione sia sbagliata) sul fatto che questo si possa fare. non mi porrei il problema se, invece della frazione $\frac{y}{x}$, avrei il prodotto $xy$, perchè in tal caso saprei che l'oggetto $xy->0$ per $x,y -> 0,0$. ma $y/x -> ?$
dubito molto quindi che posso sostituire nel modo che ho detto il logaritmo. ma come risolvere allora il limite? se non posso usare l'asintotico, non posso chiaramente neanche sviluppare il logaritmo in serie di taylor in un intorno dell'origine se il suo argomento $1+\frac{y}{x}$ non tende a 1 in quell'intorno.
come ne posso venire a capo? qualche suggerimento?
grazie in anticipo
ho sotto al naso questo limite che non riesco a risolvere:
$lim_{x,y -> 0,0} \frac{x-1}{ln(1+\frac{y}{x})}$
ho pensato di scambiare il logaritmo $ln(1+\frac{y}{x})$ con $\frac{y}{x}$, per $x,y -> 0,0$. ma già qui avrei bisogno di una conferma (e anzi di una "dimostrazione", perchè io sono del parere che questa sostituzione sia sbagliata) sul fatto che questo si possa fare. non mi porrei il problema se, invece della frazione $\frac{y}{x}$, avrei il prodotto $xy$, perchè in tal caso saprei che l'oggetto $xy->0$ per $x,y -> 0,0$. ma $y/x -> ?$
dubito molto quindi che posso sostituire nel modo che ho detto il logaritmo. ma come risolvere allora il limite? se non posso usare l'asintotico, non posso chiaramente neanche sviluppare il logaritmo in serie di taylor in un intorno dell'origine se il suo argomento $1+\frac{y}{x}$ non tende a 1 in quell'intorno.
come ne posso venire a capo? qualche suggerimento?
grazie in anticipo
Risposte
Ciao! Io lo fare cosi, supponi di andare verso l'origine seguendo una retta, cioè poni y=mx senza fissare m. Allora ottieni che:
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x-1}{log(1+\frac{y}{x})} = \lim_{x \to 0} \frac{x-1}{log(1+\frac{mx}{x})} =
= \frac{-1}{log(1+m)}
\)
ma allora il limite dipende dalla direzione che scegli e quindi non esiste. Ti torna?
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x-1}{log(1+\frac{y}{x})} = \lim_{x \to 0} \frac{x-1}{log(1+\frac{mx}{x})} =
= \frac{-1}{log(1+m)}
\)
ma allora il limite dipende dalla direzione che scegli e quindi non esiste. Ti torna?
Si, è sensatissimo! È che partivo dall'idea che dovesse fare zero perchè quel limite si ottiene applicando la definizione di differenziale ad una funzione di cui bisogna stabilire dove è differenziabile.
Per come è definita la funzione stessa, gli unici punti da esaminare sono tutti quelli appartenenti agli assi. Ho ottenuto solo nell'origine l'esistenza di un gradiente con componenti finite. Ero quindi convinto che l'origine sarebbe stato l'unico punto in cui la funzione fosse differenziabile. Cercavo perciò un modo per far andare a zero il limite che ho proposto per ottenere tale risultato
Domani vi proporrò in maniera completa l'esercizio, così da capire se ho commesso errori
Al momento non posso: sono a letto e scrivo dal tablet ^^"
Per come è definita la funzione stessa, gli unici punti da esaminare sono tutti quelli appartenenti agli assi. Ho ottenuto solo nell'origine l'esistenza di un gradiente con componenti finite. Ero quindi convinto che l'origine sarebbe stato l'unico punto in cui la funzione fosse differenziabile. Cercavo perciò un modo per far andare a zero il limite che ho proposto per ottenere tale risultato
Domani vi proporrò in maniera completa l'esercizio, così da capire se ho commesso errori
Al momento non posso: sono a letto e scrivo dal tablet ^^"
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