Un limite

[Sk_Anonymous]

Calcolare il seguente limite:
lim(((1+x)^(1/x)-e)/(x^2),[x-->0])
(e=base dei log. naturali).

[fireball1]

[Cavia1]

Il limite per x->0 non esiste. Se x->0+ allora è - infinito, se x->0- allora è + infinito. Per vederlo ti consiglio di usare la regola di L’Hopital, essendo una forma 0/0 con denominatore con derivata sempre dello stesso segno, dove otterrai un fattore che tende al numero e e uno che è x/(x+1)-ln(x+1) tutto fratto 2x^3. Sostituendo a ln(1+x) il suo polinomio di Taylor del 3° ordine arrivi a esprimere questo fattore nella forma –1/(4x(x+1)), che tende appunto a – infinito per x->0+ e a meno infinito per x->0- e che moltiplicato per e non cambia.
Ciao


Cavia

[Sk_Anonymous]

Per Cavia:grazie per la buona soluzione.Avremo modo
sicuramente di scambiarci altre idee.

Per Fireball: l'immagine che ho incluso nel post si vede?.Mi piacerebbe tanto averci preso!

karl.



Modificato da - karl il 06/01/2004 17:40:54

[fireball1]

No, non si vede karl! Per questo, prima avevo pensato di ripostarla dal mio spazio web, ma poi ho pensato che era più opportuno aggiungere anche la soluzione.

[Camillo]

Questo limite è molto simile ad un limite che avevo postato in rete a

fine agosto/inizio settembre e chiamato " limite difficile"(quello

era ancora più complicato).
In questo caso sviluppo (1+x)^(1/x) in serie di Mc Laurin

nell'intorno di x=0 ed ottengo : e(1-x/2) trascurando infinitesimi di

ordine superiore .
L'espressione da calcolare diventa :
(e-ex/2-e)/x^2 e quindi : - e/(2x) .
Quindi per x che tende a 0, il limite cercato è 00; anzi più

precisamente :
per x che tende a 0+ il limite vale : -00.
per x che tende a 0- il limite vale : +00.

[Sk_Anonymous]

Camillo mi scusera' ma il suo post non l'ho proprio
letto:sono arrivato sul forum solo a meta' novembre
o giu' di li'.Aggiungo anche che ignoravo che si potesse
applicare McLaurin anche nell'intorno di un punto
dove la funzione da sviluppare non fosse continua e derivabile
(come e' il caso nostro).
karl.





Modificato da - karl il 06/01/2004 21:08:36

[goblyn]

Non è derivabile ma si può prolungare la funzione con continuità, ecco perché funziona!

[Camillo]

Karl, non c'è niente di cui scusarsi !!!
Pensa che il limite difficile che avevo postato proveniva da una ragazza di Palermo che stava preparando Analisi ( Facoltà di Statistica ) e che si era rivolta a me per aiuto.
Sull'applicabilità di Mc Laurin avevamo concluso, dopo lunghe discussioni in rete, come dice goblyn.
ciao
Camillo

[Sk_Anonymous]

Il prolungamento per continuita' puo' essere una
soluzione certo,ma mi ha sempre lasciato un po'con la
sensazione di posticcio.In effetti essa soluzione,a mio
parere,non fa altro che sostituire la funzione data
con un'altra con un diverso comportamento.
Ad es. la y=(x^2-1)/(x-1) non e' definita (e quindi
nemmeno continua ) in x=1.Assegnarle il valore 2 in tale
punto equivarrebbe a sostituirla con la funzione y=x+1
che,dal punto di vista algebrico, coincide con la funz. data
ma che se ne allontana di molto dal punto di vista della originaria
definizione.
Voi che ne pensate?
Grazie.
karl.

[WonderP1]

Alla fine tra le due funzioni c’è corrispondenza, se non ridefinissimo y=(x²-1)/(x-1) per x = 1 allora sarebbero diverse. Boh, forse la vedo troppo da ingegnere e poco da matematico

WonderP.