Un limite

[dennysmathprof]

se abbiamo la funzione [tex]g(x)=e^x-1[/tex] e una funzione h(x) derivata solo al [tex]x_o=0, h(0)=0 h{'}(0)=2[/tex]

dobbiamo trovare il limite [tex]\lim_{x\to 0}\cfrac{g(h(x))-h(x)}{x^2}[/tex] , ma prima che [tex]h(x)\neq 0[/tex]

vicino a zero.

[dennysmathprof]

Rigel cusa mi ma non capisco cosa vuoi dire (puo venire con ...) . OK per il secondo si come

[tex]\lim_{x\to 0}\cfrac{h(x)-h(0)}{x}=2>0\Rightarrow h(x)/x>0[/tex] vicino a zero.

Grazie mille ancora

[Rigel1]

Il limite viene \(2\).
Infatti hai che \(\phi(t) := e^t - 1 - t = t^2/2 + o(t^2)\); poiché \(h(x) = 2x + o(x)\) hai che
\[
e^{h(x)} -1-h(x) = \frac{1}{2} h(x)^2 + o(h(x)^2) = 2x^2 + o(x^2).
\]

[gugo82]

Non credo di capire bene le ipotesi... La \(h\) è continua intorno a \(0\) e derivabile solo una volta in \(0\), giusto?

Ad ogni modo, ne butto lì una...

Dato che:
\[
e^y=1+y+\frac{1}{2}\ y^2 + \text{o}(y^2)
\]
(per la formula di Taylor al secondo ordine), si ha \(e^{h(x)}=1+h(x)+\frac{1}{2}\ h^2(x) +\text{o}(h^2(x)) \) e perciò:
\[
g(h(x)) -h(x) = \frac{1}{2}\ h^2(x) + \text{o}(h^2(x))\; ;
\]
d'altra parte, il teorema del differenziale (o, ciò che è lo stesso, la formula di Taylor al primo ordine) assicura che:
\[
h(x) = 2x+\text{o}(x)
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
g(h(x)) -h(x) &= \frac{1}{2}\ \left( 2x+\text{o}(x)\right)^2 + \text{o}\left( \left( 2x+\text{o}(x)\right)^2\right) \\
&= 2x^2+\text{o}(x^2)
\end{split}
\]
conseguentemente:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{g(h(x))-h(x)}{x^2} =\lim_{x\to 0} \frac{2x^2 +\text{o}(x^2)}{x^2} = 2\; .
\]

Altrimenti:

Esistono due costanti \(c_1,c_2>0\) tali che:
\[
1+y+\frac{1}{2}\ y^2 + c_1\ y^3\leq e^y\leq 1+y+\frac{1}{2}\ y^2 + c_2\ y^3
\]
per \(y\) sufficientemente prossimo a zero, quindi:
\[
\frac{1}{2}\ y^2 + c_1\ y^3\leq g(y)-y\leq \frac{1}{2}\ y^2 + c_2\ y^3
\]
per \(y\) sufficientemente vicino a \(0\); d'altra parte, esiste una funzione continua \(\epsilon (x)\) infinitesima in \(0\) tale che:
\[
h(x)=2x+x\ \epsilon(x)
\]
per \(x\) sufficientemente vicino a \(0\); dunque, a patto di prendere \(x\) sufficientemente prossimo a \(0\), si ha:
\[
\frac{1}{2}\ \left( 2x+x\ \epsilon(x) \right)^2 + c_1\ \left( 2x+x\ \epsilon(x) \right)^3\leq g(h(x))-h(x)\leq \frac{1}{2}\ \left( 2x+x\ \epsilon(x) \right)^2 + c_2\ \left( 2x+x\ \epsilon(x) \right)^3
\]
ossia:
\[
2x^2\ \left( 1+\frac{1}{2}\ \epsilon(x) \right)^2 + C_1\ x^3\ \left( 1+\frac{1}{3}\ \epsilon(x) \right)^3 \leq g(h(x)) -h(x) \leq 2x^2\ \left( 1+\frac{1}{2}\ \epsilon(x) \right)^2 + C_2\ x^3\ \left( 1+\frac{1}{3}\ \epsilon(x) \right)^3
\]
(con \(C_i:=8c_i\) per \(i=1,2\)) e dunque:
\[
2\ \left( 1+\frac{1}{2}\ \epsilon(x) \right)^2 + C_1\ x\ \left( 1+\frac{1}{3}\ \epsilon(x) \right)^3 \leq \frac{g(h(x)) -h(x)}{x^2} \leq 2\ \left( 1+\frac{1}{2}\ \epsilon(x) \right)^2 + C_2\ x\ \left( 1+\frac{1}{3}\ \epsilon(x) \right)^3\; ;
\]
per il teorema dei carabinieri si trova:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{g(h(x))-h(x)}{x^2} = 2\; .
\]

[dennysmathprof]

Grazie Rigel e Gugo e buon anno con salute e felicita