Un integrale...poco noto!
Calcolare il seguente integrale:
$intsqrt(sqrt(x^4+1)-x^2)/(x^4+1)dx$
karl
$intsqrt(sqrt(x^4+1)-x^2)/(x^4+1)dx$
karl
Risposte
Il risultato deve essere una funzione reale? Io ho svolto dei passaggi ma mi esce una funzione complessa...
Ma la radice più esaterna comprende solo $sqrt(x^4+1)-x^2$ vero?
Bisogna proprio calcolare la primitiva karl? Non è che è definito in un certo intervallo?
Forse ho trovato... la soluzione che propongo è la seguente (dopo alcune modifiche ho cercato di compattarla):
$-1/4ln((9x^4+12x^3(sqrt(x^2+sqrt(x^4+1))+sqrt(x^2-sqrt(x^4+1)))+1-2sqrt((-x^2+sqrt(x^4+1))/2)+8x^2(sqrt(x^4+1)))/(x^4+1))$
Visto che il procedimento è lungo, lo posto solo se il risultato è esatto... altrimenti risparmio una bella fatica
$-1/4ln((9x^4+12x^3(sqrt(x^2+sqrt(x^4+1))+sqrt(x^2-sqrt(x^4+1)))+1-2sqrt((-x^2+sqrt(x^4+1))/2)+8x^2(sqrt(x^4+1)))/(x^4+1))$
Visto che il procedimento è lungo, lo posto solo se il risultato è esatto... altrimenti risparmio una bella fatica
L'integrale e' come lo vedete.
Vi dico anche la soluzione
$ln((x+sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))/(root[4](x^4+1)))+C$
Naturalmente spetta a voi...ritrovarla!
karl
Vi dico anche la soluzione
$ln((x+sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))/(root[4](x^4+1)))+C$
Naturalmente spetta a voi...ritrovarla!
karl
Ora che ci penso, nella soluzione che avevo proposto io c'era un logaritmo davanti a tutto moltiplicato per $-1/4$... io ho postato solo l'argomento del logaritmo.
Inizialmente ho usato la formula per gli integrali quadratici doppi e ho trasformato la funzione integranda nella seguente:
$j/sqrt(2) (sqrt(x^2+j)-sqrt(x^2-j))/(x^4+1)$ e poi ho integrato quest'espressione.
karl, tu sei partito così?
Inizialmente ho usato la formula per gli integrali quadratici doppi e ho trasformato la funzione integranda nella seguente:
$j/sqrt(2) (sqrt(x^2+j)-sqrt(x^2-j))/(x^4+1)$ e poi ho integrato quest'espressione.
karl, tu sei partito così?
Karl, a me non sembra che la soluzione sia
quella, l'ho verificato derivando...
quella, l'ho verificato derivando...
Fire puoi provare a derivare la mia soluzione per favore?
Il problema in questi casi è che magari la stessa funzione può assumere forme diverse e il risultato è giusto ma occorre portarlo in una forma piuttosto che in un'altra.
Il problema in questi casi è che magari la stessa funzione può assumere forme diverse e il risultato è giusto ma occorre portarlo in una forma piuttosto che in un'altra.
Più tardi sì... Ci penserà il buon Derive... 
;)
;)
Mi sento di garantire la mia soluzione al 99,99%:l'avro'
verificata a dir poco 10 volte!!
Francamente non mi sono fidato di Derive e l'ho fatta
a mano.
Il mio procedimento consiste in una doppia sostituzione
che magari a cose fatte indichero'.
karl
verificata a dir poco 10 volte!!
Francamente non mi sono fidato di Derive e l'ho fatta
a mano.
Il mio procedimento consiste in una doppia sostituzione
che magari a cose fatte indichero'.
karl
Riporto i passaggi della derivazione.
$1/(x+sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))*[1+1/(2sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))*((2x^3)/(sqrt(x^4+1))+2x)]-(x^3)/(x^4+1)$
Razionalizzando il primo fattore e facendo qualche riduzione nella parentesi quadra ho:
$(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)-x)/(sqrt(x^4+1))*[1+1/(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))*(x*(sqrt(x^4+1)+x^2))/(sqrt(x^4+1))]-(x^3)/(x^4+1)$
Osservo ora che:
$sqrt(x^4+1)+x^2=(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))^2$
percio' semplificando ottengo:
$(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)-x)/(sqrt(x^4+1))*(sqrt(x^4+1)+xsqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))/(sqrt(x^4+1))-(x^3)/(x^4+1)$
Ovvero moltiplicando e riducendo allo stesso denominatore:
$(sqrt(x^4+1)sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)+x(sqrt(x^4+1)+x^2)-xsqrt(x^4+1)-x^2sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)-x^3)/(x^4+1)$
Cioe':
$(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)(sqrt(x^4+1)-x^2) )/(x^4+1)$
Ora abbiamo che:
$sqrt(x^4+1)-x^2=(sqrt(sqrt(x^4+1)-x^2))/(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)$
e quindi sostituendo si ha il risultato voluto:
$sqrt(sqrt(x^4+1)-x^2)/(x^4+1)$
karl
$1/(x+sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))*[1+1/(2sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))*((2x^3)/(sqrt(x^4+1))+2x)]-(x^3)/(x^4+1)$
Razionalizzando il primo fattore e facendo qualche riduzione nella parentesi quadra ho:
$(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)-x)/(sqrt(x^4+1))*[1+1/(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))*(x*(sqrt(x^4+1)+x^2))/(sqrt(x^4+1))]-(x^3)/(x^4+1)$
Osservo ora che:
$sqrt(x^4+1)+x^2=(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))^2$
percio' semplificando ottengo:
$(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)-x)/(sqrt(x^4+1))*(sqrt(x^4+1)+xsqrt(sqrt(x^4+1)+x^2))/(sqrt(x^4+1))-(x^3)/(x^4+1)$
Ovvero moltiplicando e riducendo allo stesso denominatore:
$(sqrt(x^4+1)sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)+x(sqrt(x^4+1)+x^2)-xsqrt(x^4+1)-x^2sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)-x^3)/(x^4+1)$
Cioe':
$(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)(sqrt(x^4+1)-x^2) )/(x^4+1)$
Ora abbiamo che:
$sqrt(x^4+1)-x^2=(sqrt(sqrt(x^4+1)-x^2))/(sqrt(sqrt(x^4+1)+x^2)$
e quindi sostituendo si ha il risultato voluto:
$sqrt(sqrt(x^4+1)-x^2)/(x^4+1)$
karl
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