Un integrale indefinito
Salve a tutti.
Dopo un ora e mezza di studio del mio integrale sono arrivato alla conclusione di rivolgermi a voi con la speranza che qualcuno mi aiuti.
Ho questo integrale indefinito:
\( \int x^2 ln(x-3) \)
premetto che sono alle prime armi con gli integrali...
Ho provato ad usare integrazione per parti, l'unica che mi è sembrata plausibile tra sostituzione parti e scomposizione (le uniche studiate) ditemi se sbaglio, ma senza risultato, non arrivo mai ad una conclusione
datemi una dritta please
grazie anticipatamente
Dopo un ora e mezza di studio del mio integrale sono arrivato alla conclusione di rivolgermi a voi con la speranza che qualcuno mi aiuti.
Ho questo integrale indefinito:
\( \int x^2 ln(x-3) \)
premetto che sono alle prime armi con gli integrali...
Ho provato ad usare integrazione per parti, l'unica che mi è sembrata plausibile tra sostituzione parti e scomposizione (le uniche studiate) ditemi se sbaglio, ma senza risultato, non arrivo mai ad una conclusione
datemi una dritta please
grazie anticipatamente
Risposte
\( \int x^2 ln(x-3)dx= \frac{1}{3}\int ln(x-3)dx^3 \)
e adesso integrazione per parti ...
e adesso integrazione per parti ...
scusami ma questa è una regola particolare?
mai visto una cosa del genere uff... ora non so... quel dx^3 come devo usarlo?
scusa l'ignoranza ma ripeto sono alle prime armi con gli integrali
scusa l'ignoranza ma ripeto sono alle prime armi con gli integrali
"tuturo89":
Salve a tutti.
Dopo un ora e mezza di studio del mio integrale sono arrivato alla conclusione di rivolgermi a voi con la speranza che qualcuno mi aiuti.
Ho questo integrale indefinito:
\( \int x^2 ln(x-3) \)
premetto che sono alle prime armi con gli integrali...
Ho provato ad usare integrazione per parti, l'unica che mi è sembrata plausibile tra sostituzione parti e scomposizione (le uniche studiate) ditemi se sbaglio, ma senza risultato, non arrivo mai ad una conclusione
datemi una dritta please
grazie anticipatamente
L'integrazione per parti è senz'altro la strada giusta ... ma poi devi saper integrare una funzione razionale: infatti
\begin{align*}
\int x^2 \ln(x-3)\,\,dx&=\int \ln(x-3)\,\,d \left(\frac{x^3}{3}\right)=\frac{1}{3}\int \ln(x-3)\,\,d \left( x^3 \right)\\
&\stackrel{(\bf P)}{=} \frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{1}{3}\int x^3\,\,d \left( \ln(x-3)\right)=\frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{1}{3}\int \frac{x^3}{x-3}\,\,dx
\end{align*}
ecco! io invece cercavo di evitare questo...
"tuturo89":
ecco! io invece cercavo di evitare questo...
non è una regola e delle volte non ti porta da nessuna parte, ma quando hai un prodotto di funzioni, la prima cosa che ci viene da pensare è integrare per parti; allora segli una delle due funzioni, quella che risulta più facile da integrare subito e, integrandola "sbattila" dentro il differenziale, nel nostro caso $x^2$ è facile da integrare infatti una sua primitiva è $x^3/3$ che a questo punto è "dentro" il differenziale; a questo punto applichi la regola dell' integrazione per parti
mi riferivo al fatto che volevo evitare l'integrale della frazione con cui non sono molto ferrato
"tuturo89":
ecco! io invece cercavo di evitare questo...
cosa la razionale?! ... puoi fare anche cosi
\begin{align*}
\int x^2 \ln(x-3)\,\,dx&=\int \ln(x-3)\,\,d \left(\frac{x^3}{3}\right)=\frac{1}{3}\int \ln(x-3)\,\,d \left( x^3 \right)\\
&\stackrel{(\bf P)}{=} \frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{1}{3}\int x^3\,\,d \left( \ln(x-3)\right)=\frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{1}{3}\int \frac{x^3}{x-3}\,\,dx\\
&=\frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{1}{3}\int \frac{x^3+27-27}{x-3}\,\,dx=\frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{1}{3}\int \frac{x^3-27 }{x-3}\,\,dx-\frac{1}{3}\int \frac{ 27 }{x-3} \,\,dx\\
&=\frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{1}{3}\int \frac{(x -3)(x^2+3x+9) }{x-3}\,\,dx-9\int \frac{ 1 }{x-3} \,\,dx\\
&=\frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{1}{3}\int x^2+3x+9 \,\,dx-9\ln|x-3|\\
&=\frac{x^3\ln(x-3)}{3}- \frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{2}-3x -9\ln|x-3|+c
\end{align*}
"tuturo89":
mi riferivo al fatto che volevo evitare l'integrale della frazione con cui non sono molto ferrato
ti conviene "ferrarti" sull'integrazione delle razionali ... te le trovi ovunque ...
ok grazie del consiglio il fatto è che devo gestire tanti casi diversi ma lo farò
il fatto è che devo gestire tanti casi diversi ma lo farò
Noisemaker, credo che tu abbia dimenticato qualcosa quando hai integrato per parti 
...già m'è scappato un $x^3$ ... corretto! grazie
sono riuscito a farlo e mi sono studiato per bene le razionali fratte...
ora dato che mi trovo in pieno tema, credo che non sia sbagliato ai fini delle regole del forum, chiedere aiuto per un altro integrale...
l' integrale che devo calcolare è il seguente:
\( \int\frac{e^x + 2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
ho svolto per scomposizione e poi per sostituzione ottendendo questo :
\( arctan(e^x) + \int\frac{2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
credo che fin qui sia tutto giusto...
ora devo risolvere:
\( \int\frac{2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
allora niente mi fa pensare ad una scomposizione ovviamente...
le strade possibili possono essere sostituzione o parti
nel primo caso arriverei a:
\( \int\frac{1}{(e^t)+1} \text{d} x \)
ma questa forma non mi riconduce a nulla (credo) correggetemi se sbaglio.
nel secondo caso se faccio per parti non riesco ad uscirne più...
forse sbaglio qualcosa o forse è molto più semplice di quanto pensassi?
e mi sono studiato per bene le razionali fratte...ora dato che mi trovo in pieno tema, credo che non sia sbagliato ai fini delle regole del forum, chiedere aiuto per un altro integrale...
l' integrale che devo calcolare è il seguente:
\( \int\frac{e^x + 2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
ho svolto per scomposizione e poi per sostituzione ottendendo questo :
\( arctan(e^x) + \int\frac{2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
credo che fin qui sia tutto giusto...
ora devo risolvere:
\( \int\frac{2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
allora niente mi fa pensare ad una scomposizione ovviamente...
le strade possibili possono essere sostituzione o parti
nel primo caso arriverei a:
\( \int\frac{1}{(e^t)+1} \text{d} x \)
ma questa forma non mi riconduce a nulla (credo) correggetemi se sbaglio.
nel secondo caso se faccio per parti non riesco ad uscirne più...
forse sbaglio qualcosa o forse è molto più semplice di quanto pensassi?
"tuturo89":
sono riuscito a farlo
ora dato che mi trovo in pieno tema, credo che non sia sbagliato ai fini delle regole del forum, chiedere aiuto per un altro integrale...
l' integrale che devo calcolare è il seguente:
\( \int\frac{e^x + 2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
ho svolto per scomposizione e poi per sostituzione ottendendo questo :
\( arctan(e^x) + \int\frac{2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
credo che fin qui sia tutto giusto...
ora devo risolvere:
\( \int\frac{2}{(e^x)^2+1} \text{d} x \)
allora niente mi fa pensare ad una scomposizione ovviamente...
le strade possibili possono essere sostituzione o parti
nel primo caso arriverei a:
\( \int\frac{1}{(e^t)+1} \text{d} x \)
ma questa forma non mi riconduce a nulla (credo) correggetemi se sbaglio.
nel secondo caso se faccio per parti non riesco ad uscirne più...
forse sbaglio qualcosa o forse è molto più semplice di quanto pensassi?
in questo caso devi porre $e^x=t\to dx=\frac{dt}{t}$
\begin{align*}
\int\frac{e^x + 2}{(e^x)^2+1} dx &\stackrel{(e^x=t)}{=}\int\frac{t + 2}{t^2+1} \frac{dt}{t}=\int\frac{t }{t^2+1} \frac{dt}{t}+\int\frac{ 2}{t^2+1} \frac{dt}{t}=\int\frac{1 }{t^2+1} dt +\int\frac{ 2}{t(t^2+1)} dt =\arctan{t}+2\int\frac{1}{t(t^2+1)} dt\\
&=\arctan{t}+2\int\frac{1}{t} -2\int\frac{t}{ t^2+ 1} dt=\arctan{t}+2\ln|t|-2\int\frac{t}{ t^2+ 1} dt\\
&=\arctan{t}+ \ln t^2- \ln( t^2+1) \stackrel{(e^x=t)}{=}\arctan e^x+ \ln\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1} +c
\end{align*}
sei sicuro? la prima ugualianza della seconda riga non è un errore?
cmq sia il risultato finale dovrebbe essere:
\[ arctan(e^x) + 2x - ln((e^2)^x)+1) \]
cmq sia il risultato finale dovrebbe essere:
\[ arctan(e^x) + 2x - ln((e^2)^x)+1) \]
bugia è giusta l'ugualianza... ma il risultato non dovrebbe essere quello...
...confused...
...confused...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo