Un integrale con prodotto di seni.
ciao a tutti,
sono bloccato con un integrale che credo sia banale, ma non riesco a trovare l'illuminazione per risolverlo:
n è un intero.
ho provato per parti, ma ottengo solo integrali più o meno della stessa forma, che non mi semplificano il lavoro.
ho provato persino ad usare le "definizioni" di seno in termini di esponenziali con argomento complesso, ma mi resta fuori qualche "i" di troppo che renderebbe (almeno a me) l'integrale ben più complesso.
credo che la strada possa essere usare le formule di bisezione/duplicazione e altre identità trigonometriche ma, a parte le prostaferesi che potrebbero illuminare la via (e che comunque dovrebbe essere possibile non usarle in questo esercizio), non so come procedere. e in ogni caso, usando qualche identità trigonometrica, son rimasto comunque bloccato.
sapreste indicarmi la soglia? poi sarò io a valicarla.
grazie in anticipo per le risposte
sono bloccato con un integrale che credo sia banale, ma non riesco a trovare l'illuminazione per risolverlo:
n è un intero.
ho provato per parti, ma ottengo solo integrali più o meno della stessa forma, che non mi semplificano il lavoro.
ho provato persino ad usare le "definizioni" di seno in termini di esponenziali con argomento complesso, ma mi resta fuori qualche "i" di troppo che renderebbe (almeno a me) l'integrale ben più complesso.
credo che la strada possa essere usare le formule di bisezione/duplicazione e altre identità trigonometriche ma, a parte le prostaferesi che potrebbero illuminare la via (e che comunque dovrebbe essere possibile non usarle in questo esercizio), non so come procedere. e in ogni caso, usando qualche identità trigonometrica, son rimasto comunque bloccato.
sapreste indicarmi la soglia? poi sarò io a valicarla.
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Mah, potresti scrivere $sin^2 (pi y)$ in altro modo con le formule di bisezione del seno e poi potresti applicare Werner o prostaferesi (una delle due formule). Prova intanto per questa via...
con le prostaferesi si risolve.
però sono convinto che si possa fare a meno di usarle. e penso che la questione giri attorno al fatto che tale integrale è, a meno di coefficienti numerici, il coefficiente di fourier dello sviluppo di $sin^2 (pi y)$.
potrebbe quindi esserci un'altra via, tenendo in considerazione questo fatto? lo chiedo, perchè tale integrale è stato risolto in un passaggio dal mio docente che "disprezza" le prostaferesi. sono quindi convinto che non le abbia usate, a favore di considerazioni più "auliche", magari proprio sull'ortonormalità dei vettori su cui proietto $sin^2 (pi y)$ quando calcolo i coefficienti di fourier.
però sono convinto che si possa fare a meno di usarle. e penso che la questione giri attorno al fatto che tale integrale è, a meno di coefficienti numerici, il coefficiente di fourier dello sviluppo di $sin^2 (pi y)$.
potrebbe quindi esserci un'altra via, tenendo in considerazione questo fatto? lo chiedo, perchè tale integrale è stato risolto in un passaggio dal mio docente che "disprezza" le prostaferesi. sono quindi convinto che non le abbia usate, a favore di considerazioni più "auliche", magari proprio sull'ortonormalità dei vettori su cui proietto $sin^2 (pi y)$ quando calcolo i coefficienti di fourier.
In questi casi del genere (con tutti i prodotti di funzioni goniometriche) devi applicare 2 volte l'integrazione per parti e dovrebbe venirti qualcosa del genere
$\int f(x) dx$=$g(x)-a\int f(x) dx$
in tal modo la soluzione della semplice equazione risulta
$\int f(x) dx$=$g(x)/(a+1)$
$\int f(x) dx$=$g(x)-a\int f(x) dx$
in tal modo la soluzione della semplice equazione risulta
$\int f(x) dx$=$g(x)/(a+1)$
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