Un integrale che non torna

[AnalisiZero]

Salve,

Dovrei risolvere il seguente integrale:

$int_(-pi)^(0)senxsen(nx)dx$
Con $n=1,2,3...$

Con una doppia integrazione per parti ho ottenuto come primitiva:

$(cosxsen(nx))/(n^2-1)-n/(n^2-1)senxcos(nx)$

Che valutata tra gli estremi di integrazione da $0$.
Il che mi sembra strano perché se ad esempio $n=1$ l'integrale è palesemente non nullo.

[Mephlip]

Per $n=1$ la tua primitiva non è definita perché dividi per $n^2-1$. Quindi, quella primitiva non è correlata al caso $n=1$ e, per tale casistica, devi calcolare esplicitamente $\int_{-\pi}^0 \sin^2 x \text{d}x$.

[AnalisiZero]

"Mephlip":Per $n=1$ la tua primitiva non è definita perché dividi per $n^2-1$. Quindi, quella primitiva non è correlata al caso $n=1$ e, per tale casistica, devi calcolare esplicitamente $\int_{-\pi}^0 \sin^2 x \text{d}x$.

Capito, non ci avevo fatto caso, ti ringrazio.

[pilloeffe]

Ciao AnalisiZero,

Quel tipo di integrali si incontrano spesso nelle serie di Fourier, non so se le stai trattando.
Più in generale si ha:

\begin{equation}
\boxed{\int \sin(mx) \sin(nx) \text{d}x =
\begin{cases}
\frac{m \cos(m x) \sin(n x) - n \cos(n x) \sin(m x)}{n^2 - m^2} + c & \text{ se } n \ne m \\
\frac{x}{2} - \frac{\sin(2 n x)}{4 n} + c & \text{ se } n = m
\end{cases}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{\int \cos(mx) \cos(nx) \text{d}x =
\begin{cases}
\frac{n \cos(m x) \sin(n x) - m \cos(n x) \sin(m x)}{n^2 - m^2} + c & \text{ se } n \ne m \\
\frac{x}{2} + \frac{\sin(2 n x)}{4 n} + c & \text{ se } n = m
\end{cases}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{\int \sin(mx) \cos(nx) \text{d}x =
\begin{cases}
\frac{m \cos(m x) \cos(n x) + n \sin(m x) \sin(n x)}{n^2 - m^2} + c & \text{ se } n \ne m \\
- \frac{\cos^2(n x)}{2 n} + c & \text{ se } n = m
\end{cases}}
\end{equation}

Nell'integrale proposto (che si ottiene dal primo nel caso particolare $m = 1 $), l'integranda è una funzione pari sicché omettendo per brevità la funzione integranda $\int_{-\pi}^0 = \int_0^{\pi} = 1/2 \int_{-\pi}^{\pi} $ e si ha:

\begin{equation}
\boxed{\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \text{d}x = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \text{d}x = \pi \delta_{mn}}
\end{equation}
ove
\begin{equation*}
\delta_{mn} :=
\begin{cases}
1 & \text{ se } n = m \\
0 & \text{ se } n \ne m
\end{cases}
\end{equation*}