Un integrale che non riesco a risolvere..

[Serxe]

Salve! Questa sera vi voglio proporre unesercizio che non riesco a fare!
È un integrale indefinito da risolvere utilizzando l'integrazione per parti (almeno credo...):

$int x^2 ln(2x^2 + 1) dx$

Io ho integrato ponendo:

$g(x) = ln(2x^2 + 1) $

$g'(x)= (4x )/(2x^2 + 1) $

$f(x) = x^3/3$

$f'(x)= x^2$

Ed ho ottenuto:

$int x^2 ln(2x^2 + 1) dx = x^3/3 ln(2x^2 + 1) - 4/3 int x^4/(2x^2+1)$

A questo punto ho provato ad applicare di nuovo l'integrazione per parti ma non ho ottenuto buoni risultati..

[menale1]

Per il primo integrale, devi effettuare la divisione euclidea sulla funzione integranda e poi in base al risultato puoi decidere quale strada adoperare, probabilmente per fratti semplici. .
Per il secondo, devi passare dal $ dx $ al $ dt $, avendo $ cosx=t $ .....

[Pickup]

Il primo l'ho fatto per parti $\int v'*u=u*v- \int u'*v $ e ho posto $u=ln(2*x^2+1)$ e $v'=x^2$

Ottengo $u'=(4x)/(2*x^2+1)$ e $v=x^3/3$

Eseguo i conti e ottengo $ln(2*x^2+1)*x^3/3 - \int (4x)/(2*x^2+1)*x^3/3 dx$

$= ln(2*x^2+1)*x^3/3 - \int (4*x^4)/(3*(2*x^2+1))dx $

Per comodità $(4*x^4)/(3*(2*x^2+1))=1/(3*(2*x^2+1))+ (2*x^2)/3-1/3$

$x^3/3*ln(2*x^2+1)-1/6*sqrt(2)**arctg(sqrt(2)*x)-2/9*x^3+1/3*x$

$x^3/3*ln(2*x^2+1)-1/18*3*sqrt(2)*arctg(sqrt(2)*x)+2x*(2x^2-3)$

Spero di non aver fatto nessun errore di calcolo.

L'integrale piu impegnativo da calcolare è questo $1/3* \int 1/(2x^2+1)$

Qui ho usato la sostituzione $u=arctg(sqrt(2)*x)$

[Serxe]

Per il primo integrale avevo pensato anche alla scomposizione per fratti semplici (è sicuramente quella.. perchè ci ha spiegato solo quella ) ma sulle soluzioni che mi ha dato il professore sembra che continui ad integrare per parti ad oltranza (lo fa tre volte in totale..) e volevo provare a risolverlo come diceva lui!
Il secondo invece mi sono accorto poco dopo aver aperto la domanda che avevo calcolato il $dt$ ma non l'avevo messo nell'integrale, o meglio avevo scritto $dt$ e non $-sinx dt$ -.-
Infatti ho pure modificato la domanda.. ma l'hai letta troppo presto
Ah.. la cosa più importante! Grazie per la risposta..

EDIT: Grazie anche a te, Pickup!
Deve venire esattamente come è venuto a te!
Anche se $1/18*3*sqrt(2)*arctg(sqrt(2)*x)$ è scritto in modo diverso.. magari nella risoluzione il professore ha fatto qualcosa di diverso o alla fine si è divertito a portare la radice sotto (oppure te l'hai portata sopra )

[menale1]

Di nulla!