Un fenomeno interessante sulle funzioni multivoche
Sto consultando il testo Visual complex analysis di T.Needham, che tra le altre cose fornisce una introduzione informale alle funzioni multivoche e alle loro determinazioni (thanks Camillo e Gugo per la consulenza linguistica). In modo completamente euristico il testo accenna ad un fenomeno, riguardo il quale provo a fabbricare un esempio:
Consideriamo $sqrt(z), sqrt(z-1)$ intese come determinazioni principali della radice quadrata:
(Qui uso impropriamente $"arg"(z)$ nel senso di argomento principale di $z$, ovvero quell'unico $theta\in(-pi, pi]$ tale che $|z|"exp"(itheta)=z$)
$sqrt(z)=sqrt(|z|)"exp"(1/2arg(z)i)$;
$sqrt(z-1)=sqrt(|z-1|)"exp"(1/2arg(z-1)i)$.
Con queste definizioni, si tratta di funzioni discontinue sulle semirette $(-infty, 0], (-infty, 1]$ rispettivamente. Se ne formiamo il prodotto, ci aspettiamo una funzione discontinua sull'unione di queste semirette. E invece
$sqrt(z)sqrt(z-1)=sqrt(|z|)sqrt(|z-1|)"exp"[1/2(arg(z)+arg(z-1))i]$
dovrebbe essere continua nel semiasse reale negativo, ovvero nella zona in cui si sovrappongono le due semirette di discontinuità. E' vero?
Consideriamo $sqrt(z), sqrt(z-1)$ intese come determinazioni principali della radice quadrata:
(Qui uso impropriamente $"arg"(z)$ nel senso di argomento principale di $z$, ovvero quell'unico $theta\in(-pi, pi]$ tale che $|z|"exp"(itheta)=z$)
$sqrt(z)=sqrt(|z|)"exp"(1/2arg(z)i)$;
$sqrt(z-1)=sqrt(|z-1|)"exp"(1/2arg(z-1)i)$.
Con queste definizioni, si tratta di funzioni discontinue sulle semirette $(-infty, 0], (-infty, 1]$ rispettivamente. Se ne formiamo il prodotto, ci aspettiamo una funzione discontinua sull'unione di queste semirette. E invece
$sqrt(z)sqrt(z-1)=sqrt(|z|)sqrt(|z-1|)"exp"[1/2(arg(z)+arg(z-1))i]$
dovrebbe essere continua nel semiasse reale negativo, ovvero nella zona in cui si sovrappongono le due semirette di discontinuità. E' vero?
Risposte
Sì, la tua funzione dovrebbe essere continua su $]-oo,0]$.
Tuttavia ci sono problemi sul segmento $[0,1]$, ad esempio.
Quello che voglio dire è che $f(z):=\sqrt(z*(z-1))$ ha due punti di diramazione, $0,1$, e se si "gira" attorno ad uno solo di essi (ad esempio percorrendo la circonferenza $Gamma: |z|=1/2$ oppure $Lambda: |z-1|=1/2$) si cambia determinazione di $f$; però se si "gira" attorno ad entrambi (ad esempio percorrendo $C: |z-1/2|=1$) non si cambia determinazione.
Per individuare univocamente una (delle due) determinazione di $f$ bisogna impedire la possibilità di "girare" attorno ai singoli punti di diramazione: ciò si può fare, ad esempio, eliminando proprio il segmento $[0,1]$ o qualunque altra curva semplice che congiunga $0$ ed $1$.
Tuttavia ci sono problemi sul segmento $[0,1]$, ad esempio.
Quello che voglio dire è che $f(z):=\sqrt(z*(z-1))$ ha due punti di diramazione, $0,1$, e se si "gira" attorno ad uno solo di essi (ad esempio percorrendo la circonferenza $Gamma: |z|=1/2$ oppure $Lambda: |z-1|=1/2$) si cambia determinazione di $f$; però se si "gira" attorno ad entrambi (ad esempio percorrendo $C: |z-1/2|=1$) non si cambia determinazione.
Per individuare univocamente una (delle due) determinazione di $f$ bisogna impedire la possibilità di "girare" attorno ai singoli punti di diramazione: ciò si può fare, ad esempio, eliminando proprio il segmento $[0,1]$ o qualunque altra curva semplice che congiunga $0$ ed $1$.
Credo di avere capito(almeno a livello informale). Per esempio, se invece di $sqrt(z-1)$ avessi avuto $root(3)(z-1)$ (sempre intesa come determinazione principale), tutto il discorso sarebbe saltato?
No sarebbe stato lo stesso, visto che la funzione prodotto sarebbe stata $f(z):=\root(6)(z^3(z-1)^2)$, che ha sei determinazioni.
"Girando" attorno ad $1$ salti due determinazioni alla volta e ne trovi $3$ (uguali alle tre determinazioni di $root(3)(z-1)$ moltiplicate per una stessa determinazione di $\sqrt(z)$); "girando" attorno a $0$ salti tre determinazioni alla volta e ne trovi $2$ (uguali alle due determinazioni di $\sqrt(z)$ moltiplicate per una stessa determinazione di $root(3)(z-1)$); probabilmente se "giri" intorno ad ambedue i punti trovi effettivamente tutte le determinazioni possibili (a meno di errori di valutazione da parte mia).
Probabilmente questa volta c'è $oo$ che rompe le scatole, quindi dovrai tagliar via qualche curva che impedisce di "girare" attorno ai tre punti $0,1,oo$ (visti sulla sfera di Riemann); tra i tagli possibili si può scegliere $]-oo,0]\cup [1,+oo[$ fatto sull'asse reale in modo da non rompere la connessione del dominio.
Ovviamente, tutto ciò va inteso modulo il fatto che non sono un esperto di Analisi Complessa.
Per sicurezza potresti provare a chiedere a qualche prof.
"Girando" attorno ad $1$ salti due determinazioni alla volta e ne trovi $3$ (uguali alle tre determinazioni di $root(3)(z-1)$ moltiplicate per una stessa determinazione di $\sqrt(z)$); "girando" attorno a $0$ salti tre determinazioni alla volta e ne trovi $2$ (uguali alle due determinazioni di $\sqrt(z)$ moltiplicate per una stessa determinazione di $root(3)(z-1)$); probabilmente se "giri" intorno ad ambedue i punti trovi effettivamente tutte le determinazioni possibili (a meno di errori di valutazione da parte mia).
Probabilmente questa volta c'è $oo$ che rompe le scatole, quindi dovrai tagliar via qualche curva che impedisce di "girare" attorno ai tre punti $0,1,oo$ (visti sulla sfera di Riemann); tra i tagli possibili si può scegliere $]-oo,0]\cup [1,+oo[$ fatto sull'asse reale in modo da non rompere la connessione del dominio.
Ovviamente, tutto ciò va inteso modulo il fatto che non sono un esperto di Analisi Complessa.
Per sicurezza potresti provare a chiedere a qualche prof.
A dire il vero non mi convince molto questo fatto:
Nel primo caso, ovvero $sqrt(z)sqrt(z-1)$, l'espressione analitica della determinazione principale è:
$sqrt(|z|)sqrt(|z-1|)"exp"(i("arg"z+"arg"(z-1))/2)$.
Che effettivamente è continua sul semiasse $(-infty, 0)$ perché le due discontinuità di $"arg"z$ e $"arg"(z-1)$ si compensano a vicenda dopo la divisione per $2$ e l'esponenziazione.
Passiamo al secondo caso, $sqrt(z)root(3)(z-1)$. Qui l'espressione analitica della determinazione principale è:
$sqrt(|z|)sqrt(|z-1|)"exp"[i(("arg"z)/2+("arg"(z-1))/3)]$.
E adesso il giochetto di prima non funziona più. Infatti mi pare che questa funzione non sia continua, ad esempio, in $-1$.
Per $z\to-1$ dall'alto: $"exp"[i(("arg"z)/2+("arg"(z-1))/3)]\to"exp"[i(pi/2+pi/3)]="exp"[i5/6pi]$;
Per $z\to-1$ dal basso: $"exp"[i(("arg"z)/2+("arg"(z-1))/3)]\to"exp"[i(-pi/2-pi/3)]="exp"[-i5/6pi]$.
Abbiamo ottenuto due limiti diversi, uno il coniugato dell'altro. La mia idea è che stavolta è venuta a mancare una forma di compensazione delle ramificazioni che invece c'era nel caso precedente.
Ma naturalmente potrei sbagliarmi grossolanamente: tu dici di non essere esperto di Analisi Complessa, figurati come sono esperto io!
"Gugo82":
probabilmente se "giri" intorno ad ambedue i punti trovi effettivamente tutte le determinazioni possibili (a meno di errori di valutazione da parte mia).
Nel primo caso, ovvero $sqrt(z)sqrt(z-1)$, l'espressione analitica della determinazione principale è:
$sqrt(|z|)sqrt(|z-1|)"exp"(i("arg"z+"arg"(z-1))/2)$.
Che effettivamente è continua sul semiasse $(-infty, 0)$ perché le due discontinuità di $"arg"z$ e $"arg"(z-1)$ si compensano a vicenda dopo la divisione per $2$ e l'esponenziazione.
Passiamo al secondo caso, $sqrt(z)root(3)(z-1)$. Qui l'espressione analitica della determinazione principale è:
$sqrt(|z|)sqrt(|z-1|)"exp"[i(("arg"z)/2+("arg"(z-1))/3)]$.
E adesso il giochetto di prima non funziona più. Infatti mi pare che questa funzione non sia continua, ad esempio, in $-1$.
Per $z\to-1$ dall'alto: $"exp"[i(("arg"z)/2+("arg"(z-1))/3)]\to"exp"[i(pi/2+pi/3)]="exp"[i5/6pi]$;
Per $z\to-1$ dal basso: $"exp"[i(("arg"z)/2+("arg"(z-1))/3)]\to"exp"[i(-pi/2-pi/3)]="exp"[-i5/6pi]$.
Abbiamo ottenuto due limiti diversi, uno il coniugato dell'altro. La mia idea è che stavolta è venuta a mancare una forma di compensazione delle ramificazioni che invece c'era nel caso precedente.
Ma naturalmente potrei sbagliarmi grossolanamente: tu dici di non essere esperto di Analisi Complessa, figurati come sono esperto io!
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