Un esercizio sulle serie
Tanto per rompere il ghiaccio (com'è strano vedere il forum vuoto!) propongo un esercizio sulle serie a termini positivi.
Sia $a_n>0$ tale che la serie $sum_{n=1}^inftya_n$ converge. Dimostrare che anche la serie $sum_{n=0}^infty(sqrt(a_n))/n$ converge.
Suggerimento: è facilissimo una volta che si sia capito qual è la giusta disuguaglianza da applicare.
Sia $a_n>0$ tale che la serie $sum_{n=1}^inftya_n$ converge. Dimostrare che anche la serie $sum_{n=0}^infty(sqrt(a_n))/n$ converge.
Suggerimento: è facilissimo una volta che si sia capito qual è la giusta disuguaglianza da applicare.
Risposte
Metto in spolier così se qualcun altro volesse provare...
@ maurer: hmmm....la tua soluzione non è quella a cui mi riferivo io. Non mi convince e ti spiego perché.
Io non credo che sia corretto dire, come fai tu:
Sia ${a_n}$ successione di numeri positivi. Se la serie $sum_{n=0}^inftya_n$ converge allora $a_n<1/n$.
Nemmeno definitivamente.
Certo che trovare un controesempio non mi riesce. Anzi, questo è molto più appassionante dell'esercizio proposto! Magari qualcuno ha qualche idea (o forse mi sbaglio io, non lo so).
__________________________________
P.S.: Per risolvere l'esercizio, dico due parole: Cauchy-Schwarz.
Io non credo che sia corretto dire, come fai tu:
Sia ${a_n}$ successione di numeri positivi. Se la serie $sum_{n=0}^inftya_n$ converge allora $a_n<1/n$.
Nemmeno definitivamente.
Certo che trovare un controesempio non mi riesce. Anzi, questo è molto più appassionante dell'esercizio proposto! Magari qualcuno ha qualche idea (o forse mi sbaglio io, non lo so).
__________________________________
P.S.: Per risolvere l'esercizio, dico due parole: Cauchy-Schwarz.
Non lo so... probabilmente hai ragione tu... sono stato un po' affrettato...
Comunque, non può essere $a_n>=1/n$ definitivamente per quanto ho già osservato. Se esiste una successione convergente che non è minore di $1/n$ definitivamente, allora deve possedere infiniti termini minori di $1/n$ ed infiniti termini maggiori di $1/n$.
La cosa che non mi convince tanto è questa: ma se ci sono infiniti termini maggiori di $1/n$, allora considerando soltanto la serie formata da questi termini, tale serie non dovrebbe divergere? E quindi non dovrebbe divergere proprio tutta la serie, contro l'ipotesi?
Non è che sono molto convinto di quanto ho scritto, però...
Comunque, non può essere $a_n>=1/n$ definitivamente per quanto ho già osservato. Se esiste una successione convergente che non è minore di $1/n$ definitivamente, allora deve possedere infiniti termini minori di $1/n$ ed infiniti termini maggiori di $1/n$.
La cosa che non mi convince tanto è questa: ma se ci sono infiniti termini maggiori di $1/n$, allora considerando soltanto la serie formata da questi termini, tale serie non dovrebbe divergere? E quindi non dovrebbe divergere proprio tutta la serie, contro l'ipotesi?
Non è che sono molto convinto di quanto ho scritto, però...
Un'idea per un controesempio.
Consideriamo la serie convergente $sum_{n=1}^infty1/(n^2)$. Questa è a termini positivi e come sappiamo possiamo riordinare i suoi termini come ci pare ottenendo sempre una serie convergente. Sfruttiamo questa proprietà per costruire una serie $sum_{k=1}^inftya_k$ convergente e tale che $a_k=1/k$ per infiniti indici $k$.
I primi termini di $a_k$ saranno così: (*) $1+[1/(4^2)+1/(3^2)+1/(2^2)]+[1/25^2+1/24^2+...+1/5^2]+[...$.
Purtroppo non ho trovato una legge generale ma spero di rendere l'idea. In sostanza dividiamo la somma $1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...$ in blocchi via via più lunghi e invertiamo l'ordine degli addendi in ogni blocco. In questa maniera la successione $a_k$ sarà uguale a $1/k$ per infiniti indici. Nella (*) si può vedere che il quarto addendo è uguale ad $1/4$, il venticinquesimo è uguale a $1/25$ e così via.
Spero di essere stato convincente.
Consideriamo la serie convergente $sum_{n=1}^infty1/(n^2)$. Questa è a termini positivi e come sappiamo possiamo riordinare i suoi termini come ci pare ottenendo sempre una serie convergente. Sfruttiamo questa proprietà per costruire una serie $sum_{k=1}^inftya_k$ convergente e tale che $a_k=1/k$ per infiniti indici $k$.
I primi termini di $a_k$ saranno così: (*) $1+[1/(4^2)+1/(3^2)+1/(2^2)]+[1/25^2+1/24^2+...+1/5^2]+[...$.
Purtroppo non ho trovato una legge generale ma spero di rendere l'idea. In sostanza dividiamo la somma $1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...$ in blocchi via via più lunghi e invertiamo l'ordine degli addendi in ogni blocco. In questa maniera la successione $a_k$ sarà uguale a $1/k$ per infiniti indici. Nella (*) si può vedere che il quarto addendo è uguale ad $1/4$, il venticinquesimo è uguale a $1/25$ e così via.
Spero di essere stato convincente.
Sì, credo che sia ottimo come controesempio...
Solo una cosa: mi puoi spiegare come utilizzare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz? L'ho vista solo una volta di sfuggita in teoria...
Solo una cosa: mi puoi spiegare come utilizzare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz? L'ho vista solo una volta di sfuggita in teoria...
Volentieri. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz è uno strumento proprio dell'algebra lineare, e si può enunciare così: in uno spazio vettoriale a prodotto scalare $\langle,\rangle$, per ogni coppia di vettori $v, w$ risulta che $|\langlev, w\rangle|<=||v||*||w||$. Questo è il caso generale, del quale però non ce ne importa nulla al momento.
Nello specifico, nei familiari spazi $RR^n$ (o anche $CC^n$ cambiando un poco le carte in tavola), la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ci dice che date due $n$-uple di scalari $v, w$ risulta che $|(sum_{i=1}^nv_iw_i)|<=sqrt(sum_{i=1}^n|v_i|^2)sqrt(sum_{i=1}^n|w_i|^2)$. E' possibile generalizzare questa disuguaglianza in varie maniere ma già così è proprio utile.
Ad esempio, consideriamo la serie $sum_{n=1}^inftysqrt(a_n)/n$. Applichiamo la disuguaglianza alle somme parziali (elevo tutto al quadrato per fare sparire quelle radici):
$(sum_{k=1}^nsqrt(a_k)*1/k)^2<=sum_{k=1}^na_k*sum_{k=1}^n1/k^2$. A secondo membro ci sono le somme parziali di due serie convergenti, per cui possiamo concludere che $sumsqrt(a_n)/n$ ha le somme parziali limitate e quindi converge.
[edit] Mi ero mangiato un segno di valore assoluto.
Nello specifico, nei familiari spazi $RR^n$ (o anche $CC^n$ cambiando un poco le carte in tavola), la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ci dice che date due $n$-uple di scalari $v, w$ risulta che $|(sum_{i=1}^nv_iw_i)|<=sqrt(sum_{i=1}^n|v_i|^2)sqrt(sum_{i=1}^n|w_i|^2)$. E' possibile generalizzare questa disuguaglianza in varie maniere ma già così è proprio utile.
Ad esempio, consideriamo la serie $sum_{n=1}^inftysqrt(a_n)/n$. Applichiamo la disuguaglianza alle somme parziali (elevo tutto al quadrato per fare sparire quelle radici):
$(sum_{k=1}^nsqrt(a_k)*1/k)^2<=sum_{k=1}^na_k*sum_{k=1}^n1/k^2$. A secondo membro ci sono le somme parziali di due serie convergenti, per cui possiamo concludere che $sumsqrt(a_n)/n$ ha le somme parziali limitate e quindi converge.
[edit] Mi ero mangiato un segno di valore assoluto.
Ok, ho capito! Grazie mille!
Grazie a te! Questa è stata una discussione molto proficua. Partendo da un esercizio da quattro soldi, abbiamo ottenuto una considerazione che secondo me è opportuno tenere presente. Comunque, ti segnalo che mi ero mangiato un valore assoluto nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, ora ho corretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo