Un esercizio sul teorema di Egoroff
Ho provato a risolvere questo esercizio:
purtroppo non ne ho la soluzione e non sono del tutto sicuro di aver fatto bene.
Iniziamo con la prima parte dell'esercizio: $f_n : [0,1] rarr [0,\infty)$.
Per il teorema di Egoroff abbiamo che $\exists E \subseteq [0,1]$ di misura piena su cui si ha:
$ \lim_{n \to \infty} \text{sup}_{t \in E} f_n(t) = 0 $
supponiamo allora per assurdo che:
$ \lim_{n \to \infty} \text{sup}_{t \in [0,1]} f_n(t) \ne 0 $
ovvero che esista una successione ${t_n}_{n\in NN} \subset [0,1]$ tale che:
$ \lim_{n \to \infty} f_n(t_n) = M > 0 $
visto che $\mu(E^C)=0$ per ogni $\epsilon > 0$ e per ogni $n$:
$ B_{\epsilon} (t_n) \cap E \ne O/ $
sia allora $a_n(\epsilon) \in B_{\epsilon} (t_n) \cap E $. Siccome $a_n \in E$:
$ \lim_{n \to \infty} f_n(a_n) = 0 $
ora le $f_n$ sono uniformemente continue in $[0,1]$ essendo continue su un compatto per cui:
$ \forall \alpha > 0 \quad \exists \epsilon(\alpha,n) > 0 \qquad : \forall x, x_0 \quad | x - x_0 | < \epsilon \implies | f_n(x) - f_n(x_0) | < \alpha $
applicando la definizione a $t_n$ e $a_n$ si ha:
$ \forall \alpha > 0 \qquad | f_n(t_n) - f_n(a_n) | < \alpha $
che è assurdo visto che:
$ \lim_{n \to \infty} | f_n(t_n) - f_n(a_n) | = M > 0 $
resta da dimostrare che $\epsilon$ non tenda a zero al tendere all'infinito di $n$. Questa è la parte su cui non sono sicuro. Io ho fatto così: d
$ \lim_{n \to \infty} f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_0) $
per la convergenza puntuale. Allora dalla definizione di limite segue:
$ \forall q \quad \exists N(q) \qquad | f_n(x)-f_n(x_0) | < q \qquad \forall n > N $
allora:
$ \epsilon(q) = 1 \qquad \forall n > N(q) $
Il controesempio nel caso $(0,1]$ è banalmente:
$ f_n(x) = (1-x)^n $
*** EDIT ***
Un po' di spazi nelle formule per facilitare la lettura!
purtroppo non ne ho la soluzione e non sono del tutto sicuro di aver fatto bene.
Iniziamo con la prima parte dell'esercizio: $f_n : [0,1] rarr [0,\infty)$.
Per il teorema di Egoroff abbiamo che $\exists E \subseteq [0,1]$ di misura piena su cui si ha:
$ \lim_{n \to \infty} \text{sup}_{t \in E} f_n(t) = 0 $
supponiamo allora per assurdo che:
$ \lim_{n \to \infty} \text{sup}_{t \in [0,1]} f_n(t) \ne 0 $
ovvero che esista una successione ${t_n}_{n\in NN} \subset [0,1]$ tale che:
$ \lim_{n \to \infty} f_n(t_n) = M > 0 $
visto che $\mu(E^C)=0$ per ogni $\epsilon > 0$ e per ogni $n$:
$ B_{\epsilon} (t_n) \cap E \ne O/ $
sia allora $a_n(\epsilon) \in B_{\epsilon} (t_n) \cap E $. Siccome $a_n \in E$:
$ \lim_{n \to \infty} f_n(a_n) = 0 $
ora le $f_n$ sono uniformemente continue in $[0,1]$ essendo continue su un compatto per cui:
$ \forall \alpha > 0 \quad \exists \epsilon(\alpha,n) > 0 \qquad : \forall x, x_0 \quad | x - x_0 | < \epsilon \implies | f_n(x) - f_n(x_0) | < \alpha $
applicando la definizione a $t_n$ e $a_n$ si ha:
$ \forall \alpha > 0 \qquad | f_n(t_n) - f_n(a_n) | < \alpha $
che è assurdo visto che:
$ \lim_{n \to \infty} | f_n(t_n) - f_n(a_n) | = M > 0 $
resta da dimostrare che $\epsilon$ non tenda a zero al tendere all'infinito di $n$. Questa è la parte su cui non sono sicuro. Io ho fatto così: d
$ \lim_{n \to \infty} f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_0) $
per la convergenza puntuale. Allora dalla definizione di limite segue:
$ \forall q \quad \exists N(q) \qquad | f_n(x)-f_n(x_0) | < q \qquad \forall n > N $
allora:
$ \epsilon(q) = 1 \qquad \forall n > N(q) $
Il controesempio nel caso $(0,1]$ è banalmente:
$ f_n(x) = (1-x)^n $
*** EDIT ***
Un po' di spazi nelle formule per facilitare la lettura!
Risposte
Non ho letto tutto con attenzione, però faccio alcune osservazioni:
1) Sei sicuro che serve applicare un Teorema così generale come il Teorema di Egorov? Hai pensato ad una via più diretta?
2) L'ipotesi che sei su $[0,1]$ la usi solo per passare (correggimi se sbaglio) dalla continuità all'unforme continuità delle $f_n$; solo che nel controesempio che hai dato l'uniforme continuità di $f_n$ l'hai ancora.
1) Sei sicuro che serve applicare un Teorema così generale come il Teorema di Egorov? Hai pensato ad una via più diretta?
2) L'ipotesi che sei su $[0,1]$ la usi solo per passare (correggimi se sbaglio) dalla continuità all'unforme continuità delle $f_n$; solo che nel controesempio che hai dato l'uniforme continuità di $f_n$ l'hai ancora.
"Luca.Lussardi":
1) Sei sicuro che serve applicare un Teorema così generale come il Teorema di Egorov? Hai pensato ad una via più diretta?
Si l'esercizio è proprio sul teorema di Egoroff. Probabilmente è possibile risolverlo anche senza questo risultato, tuttavia essendo un esercizio pensato per prendere confidenza con questo risultato credo sia giusto usare il suddetto teorema...
"Luca.Lussardi":
2) L'ipotesi che sei su $[0,1]$ la usi solo per passare (correggimi se sbaglio) dalla continuità all'unforme continuità delle $f_n$; solo che nel controesempio che hai dato l'uniforme continuità di $f_n$ l'hai ancora.
Si hai ragione: non ci avevo proprio pensato. Ciò che cade nel mio controesempio è il fatto che $\epsilon_n$ va a zero (la funzione diventa sempre più "ripida" vicino a zero) e io per dimostrare che $\epsilon_n$ non va a zero non ho usato il fatto che il dominio sia compatto. Quindi c'è qualche cosa da sistemare.
Forse inrealtà l'ipotesi chiave non è la compattezza ma la chiusura: $t_n$ nel mio controesempio converge fuori dal dominio, mentre nei chiusi sappiamo che tutte le successioni contenute convergenti convergono all'interno del chiuso.
A questo punto credo che per rendere valido l'esercizio senza rifare tutta la dimostrazione basterebbe mostrare che l'$\epsilon_n$ non va a zero, ma calcolando $f$ sulle successioni:
$ \forall \alpha > 0 \quad \exists \epsilon(\alpha,n) > 0 \qquad : \forall x, x_0 \quad | x - x_0 | < \epsilon \implies | f_n(x_n) - f_n(t_n) | < \alpha $
qui forse si riesce sfruttando la chiusura...
Pensi che sia una buona strada o è il caso di tentare un approccio tutto diverso?
*** EDIT ***
Da notare però che su $[0,1]$ il mio controesempio non converge a zero, ma alla funzione identicamente nulla su $(0,1]$ pari a $1$ in $0$. Da cui il motivo per cuio l'$\epsilon_n$ va a zero. Non sono ancora del tutto sicuro se sia il caso di rifare la dimostrazione: non mi convince a pieno, ma non riesco a trovare il punto in cui non è corretta....
Mi stavo domandando se non è tutto più facile; l'insieme
$E^c$ ha misura nulla, per cui non ha una parte interna.
Ma allora non è che il sup su $E$ ed il sup su $[0,1]$
coincidono?
$E^c$ ha misura nulla, per cui non ha una parte interna.
Ma allora non è che il sup su $E$ ed il sup su $[0,1]$
coincidono?
"Luca.Lussardi":
Mi stavo domandando se non è tutto più facile; l'insieme
$E^c$ ha misura nulla, per cui non ha una parte interna.
Ma allora non è che il sup su $E$ ed il sup su $[0,1]$
coincidono?
Così facile?
Sicuramente così si sfrutta la continuità (se $f$ non è continua sicuramente i due sup in generale non coincidono). Ma il fatto che sia chiuso? Non si potrebbe fare lo stesso discorso su $(0,1]$?
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