Un dubbio su come fare una semplice dimostrazione
Salve. Mentre ripetevo Analisi 1 in vista dell'esame mi era venuta in mente una cosa che volevo provare a dimostrare. Ora, sono sicuro che la dimostrazione non sia difficile, specialemente usando un po' di teoria delle equazioni differenziali ordinarie, tuttavia volevo riuscirci usando solo i risultati visti ad Analisi 1, ma non so bene come formalizzare il ragionamento. Prima di esporlo, passo all'enunciato della cosa che volevo dimostrare:
"Sia $f\in C^1(RR)$ tale che $f(x)=f'(x) \forall x\in RR$ allora $\EE x_0 \in RR : f'(x_0)=0$ se e solo se $f(x)=0 \forall x \in RR$."
Il ragionamento che ho adottato è il seguente:
Ora, come si vede, il ragionamento nel viceversa dal punto di vista formale ha problemi. Dunque, volevo chiedervi, se non vi reca disturbo, potreste darmi qualche consiglio?
"Sia $f\in C^1(RR)$ tale che $f(x)=f'(x) \forall x\in RR$ allora $\EE x_0 \in RR : f'(x_0)=0$ se e solo se $f(x)=0 \forall x \in RR$."
Il ragionamento che ho adottato è il seguente:
Ora, come si vede, il ragionamento nel viceversa dal punto di vista formale ha problemi. Dunque, volevo chiedervi, se non vi reca disturbo, potreste darmi qualche consiglio?
Risposte
Faccio una osservazione che mi hai fatto venire in mente ricordando un lontano corso di analisi I.
I punti di massimo e minimo relativi e i punti di flesso sono necessariamente dei punti critici, ossia punti in cui la derivata si annulla (si parla ovviamente di una funzione derivabile nel punto, siamo sotto le ipotesi del teorema di Fermat).
Il viceversa non è vero in generale, ossia ci possono essere punti critici che non sono ne' di massimo ne' di minimo ne' di flesso.
Esempio? Non me lo ricordo. Quindi non so se riguarda il tuo caso, ad esempio se forse se la funzione è $C^1$ non vale, boh?
Ho riguardato sulle dispense di Analisi I, ma dice solo ''Sapreste dare un esempio di punto critico che non è né massimo né minimo né flesso"? E stop. Lo disse il professore in aula, ma non me lo ricordo.
I punti di massimo e minimo relativi e i punti di flesso sono necessariamente dei punti critici, ossia punti in cui la derivata si annulla (si parla ovviamente di una funzione derivabile nel punto, siamo sotto le ipotesi del teorema di Fermat).
Il viceversa non è vero in generale, ossia ci possono essere punti critici che non sono ne' di massimo ne' di minimo ne' di flesso.
Esempio? Non me lo ricordo. Quindi non so se riguarda il tuo caso, ad esempio se forse se la funzione è $C^1$ non vale, boh?
Ho riguardato sulle dispense di Analisi I, ma dice solo ''Sapreste dare un esempio di punto critico che non è né massimo né minimo né flesso"? E stop. Lo disse il professore in aula, ma non me lo ricordo.
Come definisci flesso di preciso?
Copio dalle dispense di analisi I: "Un punto critico $c$ tale che $f(x)>=f(c)$ per $x>=c$ e $f(x)<=f(c)$ per $x<=c$, o viceversa, si chiama anche punto di flesso, (a tangente orizzontale)."
Boh allora $sin^3(x)$ ad esempio in ogni $c=kpi, k\in ZZ$.
Infatti ricordo che era un funzione tipo questa che si 'impacchettava', .
@otta96: la definizione di punto di flesso che uso è quella data da @gabriella 127, solo che si richiede non che valga per ogni punto del dominio, ma che esista almeno un intorno per i cui punti valgano quelle disuguaglianze.
@gabriella127: sapevo il fatto che l'essere punto di minimo e massimo relativo fosse condizione sufficiente ma non necessaria per essere punto critico, tuttavia per le funzioni da un sottoinsieme di R a R, ammesso che la funzione sia derivabile nel punto (preciso dato che anche i punti di non derivabilità li abbiamo visti come punti critici), il punto critico non può essere solo o di flesso, o di minimo o di massimo? Infatti in un intorno del punto la derivata o assume segno positivo o negativo in entrambi i lati, o solo positivo o solo negativo, poi applicando il Teorema di Lagrange si dovrebbero avere, a seconda dei casi, punti di minimo,massimo o di flesso. Giusto?
Edit 1: ho visto le altre risposte, comunque non capisco l'esempio di @otta96, mi sembra che i punti in cui si azzera la derivata o siano minimi, o massimo o tangente a flesso orizzontale.
@gabriella127: sapevo il fatto che l'essere punto di minimo e massimo relativo fosse condizione sufficiente ma non necessaria per essere punto critico, tuttavia per le funzioni da un sottoinsieme di R a R, ammesso che la funzione sia derivabile nel punto (preciso dato che anche i punti di non derivabilità li abbiamo visti come punti critici), il punto critico non può essere solo o di flesso, o di minimo o di massimo? Infatti in un intorno del punto la derivata o assume segno positivo o negativo in entrambi i lati, o solo positivo o solo negativo, poi applicando il Teorema di Lagrange si dovrebbero avere, a seconda dei casi, punti di minimo,massimo o di flesso. Giusto?
Edit 1: ho visto le altre risposte, comunque non capisco l'esempio di @otta96, mi sembra che i punti in cui si azzera la derivata o siano minimi, o massimo o tangente a flesso orizzontale.
@ marco No, no, l'osservazione del professo al corso e sulle dispense è proprio che ci sono punti critici che non sono né di massimo o minimo o flesso di funzioni da $mathbb(R) rightarrow mathbb(R)$ sotto le ipotesi del teorema di Fermat.
C'è scritto sulle dispense che ancora ho e me lo ricordo perfettamente, anche perché al corso fui proprio io a fare la domanda sul quale fosse l'esempio.
C'è scritto sulle dispense che ancora ho e me lo ricordo perfettamente, anche perché al corso fui proprio io a fare la domanda sul quale fosse l'esempio.
@gabriella127:beh grazie, è interessante, anche se non mi viene in mente neanche un esempio.
"mklplo":
la definizione di punto di flesso che uso è quella data da @gabriella 127, solo che si richiede non che valga per ogni punto del dominio, ma che esista almeno un intorno per i cui punti valgano quelle disuguaglianze.
.
Sì sì, è sottinteso in un intorno, non lo ripete perché l'ha detto già sopra per massimi e minimi.
"mklplo":
@gabriella127:beh grazie, è interessante, anche se non mi viene in mente neanche un esempio.
Mi fa rabbia che non me lo ricordo, vedo se caso mai riesco a ritrovare gli appunti del passato (era una cosa tipo 2004...), ma era simile all'esempio fatto da otta. Poteva essere adirittura $sin(1/x)$, boh.
Grazie per la disponibilità a cercarlo.
L'analisi matematica, da quando c'è questa moda dei controesempi (direi dalla seconda metà dell'800) è piena di trappole 
Ti prego, scrivi quello che vuoi dimostrare in un modo più decente.
Io ho pensato che se \( f^\prime(x_0) = 0 \) per qualche \( x_0\in \mathbb R \), o esiste un intorno di \( x_0 \) dove \( f \) è costantemente nulla, oppure esistono due punti \( x_1 < x_0 < x_2 \) tali che (ad esempio) \( f(x_1) < 0 < f(x_2) \). In quest'ultimo caso, \( f \) deve essere decrescente e crescente rispettivamente in \( x_1 \) e in \( x_2 \), cioè, deve esistere un intorno \( U_1 \) di \( x_1 \) dove \( f(\xi) > f(x_1) \) per ogni \( \xi < x_1 \) e \( f(\xi) < f(x_1) \) per ogni \( \xi > x_1 \); e la stessa cosa, ma invertita, per \( x_2 \). Se si dimostrasse che questi due intorni si accavallano in \( x_0 \), dovrebbe potersi trovare un qualche assurdo. Però ho solo fatto un disegno eh, non è nulla di preciso...
Io ho pensato che se \( f^\prime(x_0) = 0 \) per qualche \( x_0\in \mathbb R \), o esiste un intorno di \( x_0 \) dove \( f \) è costantemente nulla, oppure esistono due punti \( x_1 < x_0 < x_2 \) tali che (ad esempio) \( f(x_1) < 0 < f(x_2) \). In quest'ultimo caso, \( f \) deve essere decrescente e crescente rispettivamente in \( x_1 \) e in \( x_2 \), cioè, deve esistere un intorno \( U_1 \) di \( x_1 \) dove \( f(\xi) > f(x_1) \) per ogni \( \xi < x_1 \) e \( f(\xi) < f(x_1) \) per ogni \( \xi > x_1 \); e la stessa cosa, ma invertita, per \( x_2 \). Se si dimostrasse che questi due intorni si accavallano in \( x_0 \), dovrebbe potersi trovare un qualche assurdo. Però ho solo fatto un disegno eh, non è nulla di preciso...
"gabriella127":Ma io dovevo ancora postare :o
@ marco
"marco2132k":Ma io dovevo ancora postare
[quote="gabriella127"]@ marco
[/quote]Be', allora c'è stata qualche inversione della freccia del tempo, perché il tuo messaggio lo avevo letto
@gabriella127: forse la funzione era $ { ( x^2sin(1/x) \ x\ne0 ),( 0 \ \ x=0 ):} $ quella che di solito si usa come esempio di funzione derviabile in un punto ma non derivabile con continuità. La derivata in $0$ è proprio 0, ma non mi sembra che zero sia un punto di massimo relativo, minimo relativo o flesso. A questo punto penso che nel ragionamento che avevo fatto, poichè supponevo una "permanenza del segno" avessi implicitamente supposto la continuità della derivata nel punto. Ora non so se c'è un controesempio anche per funzioni $C^1$, tuttavia non penso, poi chissà...si scopre qualcosa di nuovo.
@marco2132k: scusa ma non capisco perchè dici che possono avvenire solo quelle due cose.
@marco2132k: scusa ma non capisco perchè dici che possono avvenire solo quelle due cose.
@gabriella127 Ma io non ho letto i messaggi che avete scritto dopo il primo post. Non so neanche a cosa tu mi abbia risposto, lol
@mkplo Se \( f \), che è continua, non è costantemente nulla su un intorno di \( x_0 \), o ha in \( x_0 \) un punto di tangenza (caso che ho ignorato; nel senso, mi son dimenticato di scriverlo), o infilza l'asse delle ascisse in \( x_0 \).
L'idea è che, siccome la derivata di solito dà informazioni locali, potrebbe avere senso ragionare su che cosa accade vicino a \( x_0 \). Un'altra idea può essere, appunto, far vedere che la funzione è costante, come vuoi fare tu, ma mi sa che ce ne sono molte altre.
@mkplo Se \( f \), che è continua, non è costantemente nulla su un intorno di \( x_0 \), o ha in \( x_0 \) un punto di tangenza (caso che ho ignorato; nel senso, mi son dimenticato di scriverlo), o infilza l'asse delle ascisse in \( x_0 \).
L'idea è che, siccome la derivata di solito dà informazioni locali, potrebbe avere senso ragionare su che cosa accade vicino a \( x_0 \). Un'altra idea può essere, appunto, far vedere che la funzione è costante, come vuoi fare tu, ma mi sa che ce ne sono molte altre.
"marco2132k":
@gabriella127 Ma io non ho letto i messaggi che avete scritto dopo il primo post. Non so neanche a cosa tu mi abbia risposto, lol
Probabilmente stiamo scrivendo tutti in contemporanea ed è successo qualche pasticcio spazio-temporale.
@marco2132k:ok, adesso mi trovo, dato che proprio il caso per esempio $f(x)=x^2$ non rientrava in nessuno dei due casi che avevi detto.
"gabriella127":
Probabilmente stiamo scrivendo tutti in contemporanea ed è successo qualche pasticcio spazio-temporale.
Già...abbiamo distrutto la fisica facendo matematica.
"marco2132k":
L'idea è che, siccome la derivata di solito dà informazioni locali, potrebbe avere senso ragionare su che cosa accade vicino a \( x_0 \). Un'altra idea può essere, appunto, far vedere che la funzione è costante, come vuoi fare tu, ma mi sa che ce ne sono molte altre.
Sì, infatti penso che effettivamente ci siano più modi (forse anche giocando sul fatto che il valore assoluto della funzione è derivabile in $x_0$), anche se ora non capisco ancora bene come fare la dimostrazione.
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