Un dubbio su come fare una semplice dimostrazione

[mklplo751]

Salve. Mentre ripetevo Analisi 1 in vista dell'esame mi era venuta in mente una cosa che volevo provare a dimostrare. Ora, sono sicuro che la dimostrazione non sia difficile, specialemente usando un po' di teoria delle equazioni differenziali ordinarie, tuttavia volevo riuscirci usando solo i risultati visti ad Analisi 1, ma non so bene come formalizzare il ragionamento. Prima di esporlo, passo all'enunciato della cosa che volevo dimostrare:
"Sia $f\in C^1(RR)$ tale che $f(x)=f'(x) \forall x\in RR$ allora $\EE x_0 \in RR : f'(x_0)=0$ se e solo se $f(x)=0 \forall x \in RR$."
Il ragionamento che ho adottato è il seguente:

L'implicazione da destra a sinistra è ovvia.
Viceversa:
Per fare questo punto sostanzialmente volevo trovare un modo per usare Lagrange per dimostrare che la funzione dovesse effettivamente essere costante, ma purtorppo l'unica cosa che mi era venuta in mente è questo ragionamento che forse intuitivamente funziona, ma formalmente è problematico. Ovvero, si supponga $x_0$ estremo relativo, allora in un intorno la derivata dovrebbe assumere da una parte segno negativo e dall'altra segno positivo, tuttavia sia che si tratti di minimo che di massimo, ciò porterebbe a un assurdo dato che la funzione e la derivata hanno lo stesso segno. Se invece $x_0$ fosse un punto di flesso, per lo stesso motivo a causa della monotonia della funzione in quell'intorno, si avrebbe comunque un assurdo sempre a causa dei segni (infatti $f(x_0)=f'(x_0)=0$ e dunque se cresce in un $x0$ ma al contempo $f(x)<0$ ovvero $f'(x)<0$).

Ora, come si vede, il ragionamento nel viceversa dal punto di vista formale ha problemi. Dunque, volevo chiedervi, se non vi reca disturbo, potreste darmi qualche consiglio?

[gabriella127]

"mklplo":@gabriella127: forse la funzione era $ { ( x^2sin(1/x) \ x\ne0 ),( 0 \ \ x=0 ):} $ quella che di solito si usa come esempio di funzione derviabile in un punto ma non derivabile con continuità. La derivata in $0$ è proprio 0, ma non mi sembra che zero sia un punto di massimo relativo, minimo relativo o flesso. A questo punto penso che nel ragionamento che avevo fatto, poichè supponevo una "permanenza del segno" avessi implicitamente supposto la continuità della derivata nel punto. Ora non so se c'è un controesempio anche per funzioni $C^1$, tuttavia non penso, poi chissà...si scopre qualcosa di nuovo.

Forse hai ragione che non ci sono esempi di funzioni $C^1$, era anche il mio dubbio, ma vorrei capire meglio questa cosa. Anche approfondendo l'esempio fatto da otta96: $sin^3(x)$ in ogni $c=kpi, k\in ZZ$.

Però caso mai dopo, non voglio interrompere il discorso tra te e marco2132 sulla dimostrazione.

[marco2132k]

Metto quella che dovrebbe essere la dimostrazione in spoiler, nel caso vogliate pensarci ancora un po'.

Ho trovato che vale questo :o

Non era così impressionante, in effetti.

[gugo82]

Proviamo... Per questa ricetta servono:

[*:55azy5d2] Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale,

[/*:m:55azy5d2]
[*:55azy5d2] Teorema di Weierstrass,

[/*:m:55azy5d2]
[*:55azy5d2] Disuguaglianza triangolare per l'integrale,

[/*:m:55azy5d2]
[*:55azy5d2] Principio di Induzione,

[/*:m:55azy5d2]
[*:55azy5d2] Teorema dei carabinieri e limiti fondamentali.[/*:m:55azy5d2][/list:u:55azy5d2]

Se hai tutto disponibile sul piano da lavoro, il piatto si cucina così:

Fissiamo $N in NN - \{ 0\}$.
Da $f^\prime (x) = f(x)$ ricavi che $f(x_0) = 0$ ed integrando m.a.m. l'uguaglianza iniziale tra $x_0$ (fisso) ed $x$ (variabile nell'intervallo di estremi $x_0$ ed $x_0 + N$) ottieni:

$f(x) = int_(x_0)^x f^\prime (t)\ "d" t = int_(x_0)^x f(t)\ "d" t$,

da cui:

($0$*) $|f(x)| = |int_(x_0)^x f(t)\ "d" t| <= int_(x_0)^x |f(t)|\ "d" t$.

Visto che $f$ è continua nel compatto che ha per estremi $x_0$ ed $x_0 + N$, tale è anche $|f|$; detto $M_N >= 0$ il massimo di $|f|$, da ($0$*) segue che:

($1$*) $|f(x)| <= M_N\ (x-x_0)$ per $x in [x_0, x_0 + N]$.

Sostituendo ($1$*) in ($0$*) hai:

($2$*) $|f(x)| <= int_(x_0)^x M_N\ (t-x_0) \ "d" t = M_N (x-x_0)^2/2$

e sostituendo ($2$*) in ($0$*) trovi:

($3$*) $|f(x)| <= M_N (x-x_0)^3/6$...

Si è capito che si può iterare: se allo $n$-esimo passo hai una stima del tipo:

($n$*) $|f(x)| <= M_n (x - x_0)^n/(n!)$

allora puoi sostituire in ($0$*) ottenendo:

($n+1$*) $|f(x)| <= M_N (x - x_0)^(n+1)/((n+1)!)$

e quindi per induzione sei a cavallo: la stima vale per tutti gli $n in NN$.

Dalla ($n$*) segue che hai vinto. Infatti, dato che $0<= x-x_0 <= N$, maggiorando ulteriormente hai:

$|f(x)| <= M_N N^n/(n!)$ per $x in [x_0, x_0 + N]$

dunque anche:

$M_N <= M_N N^n/(n!)$ per ogni $n in NN$;

visto che $N^n/(n!) -> 0$ per $n -> oo$, la precedente non è assurda solo se $M_N = 0$; quindi $f(x) = 0$ per ogni $x in [x_0, x_0 + N]$.
Per l'arbitrarietà di $N in NN$, hai $f(x) = 0$ per ogni $x in [x_0, + oo[$; e dato che il ragionamento si può ripetere con piccole modifiche anche in ogni $[x_0 - N, x_0]$, hai $f(x) = 0$ pure in $]-oo, x_0]$.



P.S.:
Se hai seguito Analisi II, ti sarai accorto che la dimostrazione è una variazione sulle iterate di Picard per la dimostrazione di esistenza della soluzione locale del Problema di Cauchy... Quindi non c'è nulla di nuovo.

[gugo82]

"gabriella127":I punti di massimo e minimo relativi e i punti di flesso sono necessariamente dei punti critici, ossia punti in cui la derivata si annulla (si parla ovviamente di una funzione derivabile nel punto, siamo sotto le ipotesi del teorema di Fermat).
Il viceversa non è vero in generale, ossia ci possono essere punti critici che non sono ne' di massimo ne' di minimo ne' di flesso.
Esempio? Non me lo ricordo. Quindi non so se riguarda il tuo caso, ad esempio se forse se la funzione è $C^1$ non vale, boh?
Ho riguardato sulle dispense di Analisi I, ma dice solo ''Sapreste dare un esempio di punto critico che non è né massimo né minimo né flesso"? E stop. Lo disse il professore in aula, ma non me lo ricordo.

Una cosa tipo il prolungamento per continuità su $0$ della funzione $f(x) = x^3 sin (1/x)$ dovrebbe funzionare.

[mklplo751]

Grazie a entrambi per aver risposto.
@gugo82:per quanto riguarda la dimostrazione con le iterate di Picard, ancora non l'ho vista dato che Analisi 2 lo seguirò tra qualche mese, tuttavia immaginavo che il teorema dell'esistenza della soluzione del problema di Cauchy fosse collegato (anche perchè uno volendo potrebbe proprio scrivere un problema di Cauchy che ammette un'unica soluzione globale che è la funzione costantemente nulla), tuttavia volevo vedere cose che non usassero teoremi che riguardassero le equazioni differenziali o serie di funzione per vedere se fosse in grado di dimostrare il risultato con le cose di Analisi 1. Alla fine la risposta è che io non ne sono in grado, sebbene sia possibile, come tu hai dimostrato, usando effettivamente solo tecniche di Analisi 1, grazie nuovamente.
P.s: per quanto riguarda l'esempio, in pratica per ogni $k$ naturale esiste un opportuno numero naturale $n$, tale che $x^n*sin(1/x)$ possa essere prolungata a una funzione di classe $C^k$ e tale che non abbia in $0$ punti di minimo, massimo o flesso a tangente orizzontale?

[marco2132k]

\( S_n \) agisce sui thread facendo in modo che le domande appaiano prima delle risposte;
la gente risponde qui alle domande fatte dal un me di un futuro parallelo;
@gugo82 mette una dimostrazione di un fatto elementare variando su un fatto generale, mentre io propongo una soluzione custom al problema.

Cosa sta succedendo qui? :O

[gabriella127]

"marco2132k":\( S_n \) agisce sui thread facendo in modo che le domande appaiano prima delle risposte;
la gente risponde qui alle domande fatte dal un me di un futuro parallelo;
Cosa sta succedendo qui? :O

E' vero, qualche trasformazione ha determinato un groviglio temporale in cui tu sei stato proiettato nel futuro, e io leggevo le tue domande prima che le scrivessi

"gugo82":
Una cosa tipo il prolungamento per continuità su $ 0 $ della funzione $ f(x) = x^3 sin (1/x) $ dovrebbe funzionare.

Merci!

[gugo82]

"gabriella127":[quote="gugo82"]
Una cosa tipo il prolungamento per continuità su $ 0 $ della funzione $ f(x) = x^3 sin (1/x) $ dovrebbe funzionare.

Merci![/quote]
Visto che siamo in tema... Ricordo un articolo dell'AMM in cui si discuteva l'estrema utilità delle funzioni del tipo $x^alpha sin (1/x)$ nella costruzione di controesempi: H. Turgay Kaptanoğlu (2018) In praise of $y = x^\alpha sin(1/x)$, American Math. Month., v. 108, n. 2, pagg. 144-150.

[gabriella127]

"gugo82":[... Ricordo un articolo dell'AMM in cui si discuteva l'estrema utilità delle funzioni del tipo $x^alpha sin (1/x)$ nella costruzione di controesempi: H. Turgay Kaptanoğlu (2018) In praise of $y = x^\alpha sin(1/x)$, American Math. Month., v. 108, n. 2, pagg. 144-150.

Bello, ma avevo cominciato a leggere e l'AMM me l'ha schiattato... Si deve pagare, a caro prezzo

[mklplo751]

"gugo82":
Visto che siamo in tema... Ricordo un articolo dell'AMM in cui si discuteva l'estrema utilità delle funzioni del tipo $x^alpha sin (1/x)$ nella costruzione di controesempi: H. Turgay Kaptanoğlu (2018) In praise of $y = x^\alpha sin(1/x)$, American Math. Month., v. 108, n. 2, pagg. 144-150.

Ora sono veramente curioso di sapere quali altri controesempi si possono costruire, anche provando prima a ragionare un po' da solo sulle proprietà della funzione. Grazie dello spunto.