Un dubbio amletico...
Tempo fa, per per rispondere ad un forumista, mi sono ingegnato al calcolo del seguente integrale…
$int_0^[+oo] e^(-x) (1-cos x)/x dx$ (1)
La strada da me seguita [‘sicuramente non l’unica e probabilmente neppure la più elegante’ ho commentato in quella occasione…] è stata questa. Ricorrendo sistematicamente alla formula di integrazione per parti si riesce senza troppa difficoltà a dimostrare che…
$int_0^[+oo] e^(-x) x^n dx = n!$ (2)
Ricordando poi il noto sviluppo in serie…
$cos x = sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$ (3)
… si ricava…
$(1-cos x)/x = sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) x^(2n-1)/((2n)!)$ (4)
A questo punto, combinando la (2) e la (4), diciamo che ‘il gioco è fatto’. Senza troppo soffrire si ottiene…
$int_0^(+oo)e^(-x)(1-cos x)/x dx$ =
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)/((2n)!) int_0^(+oo) x^(2n-1) e^(-x)$ dx =
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) ((2n-1)!)/((2n)!)$ =
$½ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)/n = ½ ln 2$ (5)
A prima vista sembra proprio che tutto è filato liscio… solo che… Solo che alcuni giorni fa due forumisti hanno impostato una discussione che mi ha messo una strana ‘pulce’ in un orecchio. Il postato riguardava una proprietà un poco ‘singolare’ delle serie cosiddette ‘semplicemente convergenti’ [qualche volta ho sentito dire anche ‘debolmente convergenti’…]. Ricordiamo intanto la definzione: data una serie convergente…
$S=sum_(n=0)^(+oo) a_n$ (6)
… se la serie a termini positivi…
$sum_(n=0)^(+oo) |a_n|$ (7)
… è anch’essa convergente, allora la (6) si dice essere assolutamente convergente. Se no, la (6) si dice essere semplicemente convergente. La proprietà cui prima alludevo è la seguente: cambiando in modo qualsiasi l’ordine dei termini di una serie assolutamente convergente si ottiene una serie qanch’essa convergente e con somma identica. Viceversa cambiando l’ordine dei termini di una serie semplicemente convergente si può ottenere una serie divergente o una serie anch’essa convergente ma con somma differente. L’esempio ‘classico’ è data dalla serie armonica a segni alterni…
$S=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n /n = 1-1/2+1/3... = ln 2$ (8)
Se in essa cambio l’ordine di termini sommando due contributi positivi per ogni contributo negativo ottengo una nuova serie che converge ad un valore differente dato da…
$S’= 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+…+1/(4n-3)+1/(4n-1)-1/(2n)+... = 3/2 ln 2$ (9)
Ebbene il mio ’dilemma’ è il seguente. Il risultato del calcolo del mio integrale, come si vede dalla (5), è dato [a parte il termine ½…] proprio da una serie armonica a segni alterni. Tale risultato è stato conseguito partendo dalla (4), la quale è [o almeno così mi pare…] una serie assolutamente convergente, la cui somma quindi non dipende dall’ordine dai termini. Ebbene se io, valendomi di questo, dovesso cambiare l’ordine dei termini della (4) nella stessa maniera con cui ho cambiato l’ordine dei termini nella (9) alla fine il risultato del calcolo non dovrebbe essere diverso [ovvero ¾ ln 2 in luogo di ½ ln 2…]? … Sicuramente così non deve essere per cui mi piacerebbe che qualcuno mi dicesse dove il mio ragionamento è sbagliato…
cordiali saluti
lupo grigio
$int_0^[+oo] e^(-x) (1-cos x)/x dx$ (1)
La strada da me seguita [‘sicuramente non l’unica e probabilmente neppure la più elegante’ ho commentato in quella occasione…] è stata questa. Ricorrendo sistematicamente alla formula di integrazione per parti si riesce senza troppa difficoltà a dimostrare che…
$int_0^[+oo] e^(-x) x^n dx = n!$ (2)
Ricordando poi il noto sviluppo in serie…
$cos x = sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$ (3)
… si ricava…
$(1-cos x)/x = sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) x^(2n-1)/((2n)!)$ (4)
A questo punto, combinando la (2) e la (4), diciamo che ‘il gioco è fatto’. Senza troppo soffrire si ottiene…
$int_0^(+oo)e^(-x)(1-cos x)/x dx$ =
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)/((2n)!) int_0^(+oo) x^(2n-1) e^(-x)$ dx =
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) ((2n-1)!)/((2n)!)$ =
$½ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)/n = ½ ln 2$ (5)
A prima vista sembra proprio che tutto è filato liscio… solo che… Solo che alcuni giorni fa due forumisti hanno impostato una discussione che mi ha messo una strana ‘pulce’ in un orecchio. Il postato riguardava una proprietà un poco ‘singolare’ delle serie cosiddette ‘semplicemente convergenti’ [qualche volta ho sentito dire anche ‘debolmente convergenti’…]. Ricordiamo intanto la definzione: data una serie convergente…
$S=sum_(n=0)^(+oo) a_n$ (6)
… se la serie a termini positivi…
$sum_(n=0)^(+oo) |a_n|$ (7)
… è anch’essa convergente, allora la (6) si dice essere assolutamente convergente. Se no, la (6) si dice essere semplicemente convergente. La proprietà cui prima alludevo è la seguente: cambiando in modo qualsiasi l’ordine dei termini di una serie assolutamente convergente si ottiene una serie qanch’essa convergente e con somma identica. Viceversa cambiando l’ordine dei termini di una serie semplicemente convergente si può ottenere una serie divergente o una serie anch’essa convergente ma con somma differente. L’esempio ‘classico’ è data dalla serie armonica a segni alterni…
$S=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n /n = 1-1/2+1/3... = ln 2$ (8)
Se in essa cambio l’ordine di termini sommando due contributi positivi per ogni contributo negativo ottengo una nuova serie che converge ad un valore differente dato da…
$S’= 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+…+1/(4n-3)+1/(4n-1)-1/(2n)+... = 3/2 ln 2$ (9)
Ebbene il mio ’dilemma’ è il seguente. Il risultato del calcolo del mio integrale, come si vede dalla (5), è dato [a parte il termine ½…] proprio da una serie armonica a segni alterni. Tale risultato è stato conseguito partendo dalla (4), la quale è [o almeno così mi pare…] una serie assolutamente convergente, la cui somma quindi non dipende dall’ordine dai termini. Ebbene se io, valendomi di questo, dovesso cambiare l’ordine dei termini della (4) nella stessa maniera con cui ho cambiato l’ordine dei termini nella (9) alla fine il risultato del calcolo non dovrebbe essere diverso [ovvero ¾ ln 2 in luogo di ½ ln 2…]? … Sicuramente così non deve essere per cui mi piacerebbe che qualcuno mi dicesse dove il mio ragionamento è sbagliato…
cordiali saluti
lupo grigio
Risposte
A me quello che hai fatto sembra formalmente corretto. Nel linguaggio delle successioni di funzioni (che ultimamente non mi sono molto amiche) avevi una $u(x)$ integrabile. Poi hai creato una $u_k(x)$ successione di funzioni integrali che converge uniformemente a $u$. Per un noto teorema deve essere:
$ lim_(k -> oo) int u_k dx = int lim_(k -> oo) u_k dx = int u dx $ (10)
Dove:
$ u_k(x) = e^(-x) sum_(n=1)^(k) (-1)^(n-1) x^(2n-1)/((2n)!) $
Siccome cabiando la successione delle somme parziali si genera una $u^(**)_k$ che converge ancora uniformemente a $u$ l'integrale NON dipendere dal modo in cui si ordina la somma (4).
Riordinando la somma (4) (che ovviamente e' assolutamente convergente) si dovrebbe arrivare a una nuova (5) con ancora somma $1/2 log(2)$...
... solo che le cose non sembrano funzionare proprio cosi'...
Quello che mi viene in mente (e cio' pensato su un bel po' prima di rispondere) e' che, in realta', al passaggio (5) per essere pignoli ci vorrebbe la scritta:
$ lim_(k -> oo) ½ sum_(n=1)^(k) (-1)^(n-1)/n $
Vediamo che non e' possibile ordinare la (4) una volta scelta perche' nell'integrale la (4) compare sempre come somma finita (il limite si fa in fondo) e quindi gli unici riordinamenti possibili sono quelli di cui parlava Thomas nel topic da te citato. Quindi anche qui' non e' possibile fare "pastrocchi" per far convergere a qualcosa d'altro l'integrale
Con questo abbiamo inibito la possibilita' di riordinare la (5) in ogni passaggio tranne che nel momento in cui si definisce la (4) per la prima volta. Qui' la teoria ci dovrebbe garantire che cambiando la (4) non si generano problemi. Tuttavia i conti sembrano smentire questo fatto...
Provero' a pensarci un po' su....
*** EDIT ***
Eliminato un pezzo inutile.
$ lim_(k -> oo) int u_k dx = int lim_(k -> oo) u_k dx = int u dx $ (10)
Dove:
$ u_k(x) = e^(-x) sum_(n=1)^(k) (-1)^(n-1) x^(2n-1)/((2n)!) $
Siccome cabiando la successione delle somme parziali si genera una $u^(**)_k$ che converge ancora uniformemente a $u$ l'integrale NON dipendere dal modo in cui si ordina la somma (4).
Riordinando la somma (4) (che ovviamente e' assolutamente convergente) si dovrebbe arrivare a una nuova (5) con ancora somma $1/2 log(2)$...
... solo che le cose non sembrano funzionare proprio cosi'...
Quello che mi viene in mente (e cio' pensato su un bel po' prima di rispondere) e' che, in realta', al passaggio (5) per essere pignoli ci vorrebbe la scritta:
$ lim_(k -> oo) ½ sum_(n=1)^(k) (-1)^(n-1)/n $
Vediamo che non e' possibile ordinare la (4) una volta scelta perche' nell'integrale la (4) compare sempre come somma finita (il limite si fa in fondo) e quindi gli unici riordinamenti possibili sono quelli di cui parlava Thomas nel topic da te citato. Quindi anche qui' non e' possibile fare "pastrocchi" per far convergere a qualcosa d'altro l'integrale
Con questo abbiamo inibito la possibilita' di riordinare la (5) in ogni passaggio tranne che nel momento in cui si definisce la (4) per la prima volta. Qui' la teoria ci dovrebbe garantire che cambiando la (4) non si generano problemi. Tuttavia i conti sembrano smentire questo fatto...
Provero' a pensarci un po' su....
*** EDIT ***
Eliminato un pezzo inutile.
Prima di cercare di risolvere il nostro ‘dubbio amletico’ proviamo a ricavare il nostro integrale…
$int_0^(+oo) e^-x (1-cos x)/x dx$ (1)
… in modo numerico utilizzando una formula ‘tipo Gauss’…
$int_a^b w(x) f(x) dx ~$ $sum_(i=0)^n a_i f(x_i)$ (2)
Nel caso in cui sia $w(x)= e^(-x)$ , a=0 e b=+oo le formule in questione sono conosciute come formule di Gauss-Laguerre. il nostro integrale sarà quindi…
$int_0^(+oo) e^(-x) f(x) dx ~$ $sum_(i=0)^n a_i f(x_i)$ (3)
… nella quale sarà…
$f(x)= (1-cos x)/x$ (4)
Le xi e ai per i=0,n per n da 0 a 4 sono date nella tabella che si può consultare in http://www.dmi.units.it/~bellen/calcolo ... apit-6.doc . Per valori più grandi di n occorre calcolarseli o andarseli a vedere sui tabulati…
Proviamo quindi a calcolare l’integrale untilizzando le (3) e (4) con n crescente…
Per n=0 xo=1 e ao=1. Si ha quindi Int= .459697
Per n=1 x0=.585786 ao=.853553, x1=3.414214 a1=.146447. Si ha quindi Int =.242932 + .0842025 = .327135
Per n=2 xo=.415775 ao=.711093, x1=2.29428 a1=.278518, x2=6.289945 a2=.010389. Si ha quindi Int= .14571 + .201761 + 3.63 e-8 = .347471
Per n=3 xo=.322548 ao=.63154, x1=1.745761 a1=.357419, x2=4.53662 a2=.038888, x3=9.395071 a3=.000539. Si ha quindi Int= .100971 + .240374 + .010071 + 1.15 e-4 = .351531
Per n=4 xo=.26356 ao=.521756, x1=1.413403 a1=.398667, x2=3.596426 a2=.075942, x3=7.08581 a3=.003612, x4=12.640801 a4=.000023. Si ha quindi Int= .06836 + .23785 + .0400852 + 1.555 e-4 + 5 e-9 = .346451
Se ipotizziamo che il risultato ‘esatto sia’ ½ ln 2 = .34657359… , vediamo che in effetti per n=4 si ottiene un’approssimazione con tre cifre decimali esatte e questo ci conforta un poco. Volendo certo di può tentare con valori di n ancora più grandi. Resta da risolvere il ‘dubbio amletico’ sollevato all’inzio della discussione, ovvero…
Reordering an infinite sum…
is it possible or not?…
that’s the problem…
cordiali saluti
lupo grigio
$int_0^(+oo) e^-x (1-cos x)/x dx$ (1)
… in modo numerico utilizzando una formula ‘tipo Gauss’…
$int_a^b w(x) f(x) dx ~$ $sum_(i=0)^n a_i f(x_i)$ (2)
Nel caso in cui sia $w(x)= e^(-x)$ , a=0 e b=+oo le formule in questione sono conosciute come formule di Gauss-Laguerre. il nostro integrale sarà quindi…
$int_0^(+oo) e^(-x) f(x) dx ~$ $sum_(i=0)^n a_i f(x_i)$ (3)
… nella quale sarà…
$f(x)= (1-cos x)/x$ (4)
Le xi e ai per i=0,n per n da 0 a 4 sono date nella tabella che si può consultare in http://www.dmi.units.it/~bellen/calcolo ... apit-6.doc . Per valori più grandi di n occorre calcolarseli o andarseli a vedere sui tabulati…
Proviamo quindi a calcolare l’integrale untilizzando le (3) e (4) con n crescente…
Per n=0 xo=1 e ao=1. Si ha quindi Int= .459697
Per n=1 x0=.585786 ao=.853553, x1=3.414214 a1=.146447. Si ha quindi Int =.242932 + .0842025 = .327135
Per n=2 xo=.415775 ao=.711093, x1=2.29428 a1=.278518, x2=6.289945 a2=.010389. Si ha quindi Int= .14571 + .201761 + 3.63 e-8 = .347471
Per n=3 xo=.322548 ao=.63154, x1=1.745761 a1=.357419, x2=4.53662 a2=.038888, x3=9.395071 a3=.000539. Si ha quindi Int= .100971 + .240374 + .010071 + 1.15 e-4 = .351531
Per n=4 xo=.26356 ao=.521756, x1=1.413403 a1=.398667, x2=3.596426 a2=.075942, x3=7.08581 a3=.003612, x4=12.640801 a4=.000023. Si ha quindi Int= .06836 + .23785 + .0400852 + 1.555 e-4 + 5 e-9 = .346451
Se ipotizziamo che il risultato ‘esatto sia’ ½ ln 2 = .34657359… , vediamo che in effetti per n=4 si ottiene un’approssimazione con tre cifre decimali esatte e questo ci conforta un poco. Volendo certo di può tentare con valori di n ancora più grandi. Resta da risolvere il ‘dubbio amletico’ sollevato all’inzio della discussione, ovvero…
Reordering an infinite sum…
is it possible or not?…
that’s the problem…
cordiali saluti
lupo grigio
Si con un metodo Gauss-Lobatto adattativo in Matlab sono arrivato a una precisione di 6 cifre significative... Per cui sull'esattezza dell'integrale non sembrano esserci dubbi.
Il teorema (10) garantisce che se esiste:
$ lim_(k -> oo) int u_k $
Esso e' ugugale a:
$ int lim_(k -> oo) u_k = int u $
Sotto opportune ipotesi di convergenza di $u_k$ ad $u$. Queste ipotesi sono verificate anche riordinando la (4) per cui le possibilita' sono 2:
1. Il $ lim_(k -> oo) int u_k $ non esiste se $u_k$ e' ottenuto riordinando la (4) come la (9).
2. Il $ lim_(k -> oo) int u_k $ e' uguale a $1/2 log(2)$.
La 2. sembra poco probabile per cui mi sono concentrato sulla 1., ma senza successo. A queste 2 se ne puo' aggiungere una 3za:
3. $u_k$ non converge uniformemente a $u$ se e' ottenuta dalla (4) ordinata come la (9).
Ma quest'ultima possibilita' mi sembra molto poco praticabile perche', in ogni caso, esistono teoremi tipo il (10) anche per successioni di funzioni che convergono q.o. e sono dominate da funzioni integrabili. (th. convergenza dominata di Lebesgue). Quindi per mostrare che l'integrale non vale $3/4 log(2)$ percorrendo questa strada bisognerebbe far vedere che non esiste una funzione integrabile alla Lebesgue maggiore delle $u_k$ (mi sembra difficile!)...
La morale e': ci deve essere un qualche motivo per cui riordinando la (4) come la (9) non si possa applicare il teorema (10).... ma quale???
PS: Le $u_k$ qui sono ottenute moltiplicando per $e^(-x)$ la (4)
Il teorema (10) garantisce che se esiste:
$ lim_(k -> oo) int u_k $
Esso e' ugugale a:
$ int lim_(k -> oo) u_k = int u $
Sotto opportune ipotesi di convergenza di $u_k$ ad $u$. Queste ipotesi sono verificate anche riordinando la (4) per cui le possibilita' sono 2:
1. Il $ lim_(k -> oo) int u_k $ non esiste se $u_k$ e' ottenuto riordinando la (4) come la (9).
2. Il $ lim_(k -> oo) int u_k $ e' uguale a $1/2 log(2)$.
La 2. sembra poco probabile per cui mi sono concentrato sulla 1., ma senza successo. A queste 2 se ne puo' aggiungere una 3za:
3. $u_k$ non converge uniformemente a $u$ se e' ottenuta dalla (4) ordinata come la (9).
Ma quest'ultima possibilita' mi sembra molto poco praticabile perche', in ogni caso, esistono teoremi tipo il (10) anche per successioni di funzioni che convergono q.o. e sono dominate da funzioni integrabili. (th. convergenza dominata di Lebesgue). Quindi per mostrare che l'integrale non vale $3/4 log(2)$ percorrendo questa strada bisognerebbe far vedere che non esiste una funzione integrabile alla Lebesgue maggiore delle $u_k$ (mi sembra difficile!)...
La morale e': ci deve essere un qualche motivo per cui riordinando la (4) come la (9) non si possa applicare il teorema (10).... ma quale???
PS: Le $u_k$ qui sono ottenute moltiplicando per $e^(-x)$ la (4)
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