Un controesempio sulle serie

[Silente]

Chiedo per favore, se esiste e se qualcuno ne ha uno già pronto, di vedere un esempio di due serie:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k \) e \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_k \)

i cui termini siano asintoticamente uguali (cioè tali che \(\displaystyle a_k=\gamma(k)b_k \), con \(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\gamma(k)=1 \)) ma dove una sola tra le due serie converga mentre l'altra diverga.

E' una cosa che può capitare?
Io ho studiato un teorema che garantisce di no solo nel caso in cui i termini siano sempre non-negativi.

[3m0o]

Prendi \( a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \) e \( b_n= \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n} \). Abbiamo che
\[ \frac{b_n}{a_n} = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \xrightarrow{n \to \infty} 1 \]
ma \( \sum a_n \) converge e \( \sum b_n \) diverge.

Più in generale esempio di questo tipo dove \( \sum a_n \) converge e \( \sum b_n \) diverge e dove \( a_n \) e \( b_n \) sono asintotici, ti implica automaticamente che \( \sum a_n \) converge ma non converge assolutamente, poiché se convergesse assolutamente allora avremmo che \( \lim \frac{\left| a_n \right|}{\left| b_n \right|} = 1 \) e dunque siccome \( \sum \left| a_n \right| \) converge hai che \( \sum \left| b_n \right| \) converge, siccome \( \left| a_n \right|,\left| b_n \right| \geq 0 \). E pertanto dalla convergenza assoluta di \( \sum b_n \) ottieni un assurdo perché vuol dire che \( \sum b_n \) converge.

[Silente]

Grazie mille.