Un compito d'esame...
Oggi ho avuto una prova in itinere, volevo chiedervi un paio di cose:
Ecco il testo:
Data la funzione:
[tex]f(x)=\frac{|x^2-x|}{e^x}[/tex]
1) Determinare il dominio, gli asintoti e l'immagine.
2) Studiare la derivabilità.
3) Determinare gli intervalli in cui è monotona e tracciare il grafico approssimativo.
Determinare gli estremi della seguente successione:
[tex]\frac{n!3^n}{2^n}[/tex]
Studiare il carattere della serie:
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+logn}[/tex]
Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
[tex]\lim_{xn \to 0}e^\frac{1}{2x}senx[/tex]
[tex]\lim_{xn \to 0^+}\frac{log(1+\sqrt{x+x^3})}{x}[/tex]
Allora..purtroppo il primo non l'ho fatto perchè non ci sono arrivato
Per quanto riguarda gli altri, sono stanco quindi...cercherò di essere il meno lungo possibile..
La successione.
Ho notato che si può scrivere una parte come frazione elevata ad n, poi ho considerato che il fattoriale è sempre crescente, la frazione elevata ad n pure.
Quindi la successione di partenza ha come Sup [tex]+\infty[/tex] e come minimo il primo valore di n chein questo caso è 3/2.
La serie numerica è una serie a segni alterni, ho studiato l'assoluta convergenza e applicato il corollario al criterio della radice.
Trovo che il limite tende a 0 e quindi la serie è assolutamente convergente dunque converge.
Per i limiti, sono stato fregato dal primo, perchè ho fatto dei calcoli strani, ma un mio collega mi ha fatto otare che quel limite non esiste.
Invece in quello logaritmico ho fatto la seguente cosa.
[tex]\lim_{xn \to 0^+}\frac{log(1+\sqrt{x+x^3})}{x}=[/tex]
[tex]\lim_{xn \to 0^+}\frac{log(1+\sqrt{x+x^3})}{\sqrt{x+x^3}}\frac{\sqrt{x+x^3}}{x}[/tex]
Credo...spero..
Ora la prima parte tende a 1, nella seconda ho applicato un altro limite notevole ottennendo:
[tex]\lim_{xn \to 0^+}\frac{(1+x^3)^{\frac{1}{2}}-1+1}{x^3}*x^2[/tex]
Però mi sono appena accorto che è sbagliato....vero?
Se avessi scritto qualcosa di meglio in definitiva il limite dovrebbe fare 0.
Maledizione...
Ecco il testo:
Data la funzione:
[tex]f(x)=\frac{|x^2-x|}{e^x}[/tex]
1) Determinare il dominio, gli asintoti e l'immagine.
2) Studiare la derivabilità.
3) Determinare gli intervalli in cui è monotona e tracciare il grafico approssimativo.
Determinare gli estremi della seguente successione:
[tex]\frac{n!3^n}{2^n}[/tex]
Studiare il carattere della serie:
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+logn}[/tex]
Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
[tex]\lim_{xn \to 0}e^\frac{1}{2x}senx[/tex]
[tex]\lim_{xn \to 0^+}\frac{log(1+\sqrt{x+x^3})}{x}[/tex]
Allora..purtroppo il primo non l'ho fatto perchè non ci sono arrivato
Per quanto riguarda gli altri, sono stanco quindi...cercherò di essere il meno lungo possibile..
La successione.
Ho notato che si può scrivere una parte come frazione elevata ad n, poi ho considerato che il fattoriale è sempre crescente, la frazione elevata ad n pure.
Quindi la successione di partenza ha come Sup [tex]+\infty[/tex] e come minimo il primo valore di n chein questo caso è 3/2.
La serie numerica è una serie a segni alterni, ho studiato l'assoluta convergenza e applicato il corollario al criterio della radice.
Trovo che il limite tende a 0 e quindi la serie è assolutamente convergente dunque converge.
Per i limiti, sono stato fregato dal primo, perchè ho fatto dei calcoli strani, ma un mio collega mi ha fatto otare che quel limite non esiste.
Invece in quello logaritmico ho fatto la seguente cosa.
[tex]\lim_{xn \to 0^+}\frac{log(1+\sqrt{x+x^3})}{x}=[/tex]
[tex]\lim_{xn \to 0^+}\frac{log(1+\sqrt{x+x^3})}{\sqrt{x+x^3}}\frac{\sqrt{x+x^3}}{x}[/tex]
Credo...spero..
Ora la prima parte tende a 1, nella seconda ho applicato un altro limite notevole ottennendo:
[tex]\lim_{xn \to 0^+}\frac{(1+x^3)^{\frac{1}{2}}-1+1}{x^3}*x^2[/tex]
Però mi sono appena accorto che è sbagliato....vero?
Se avessi scritto qualcosa di meglio in definitiva il limite dovrebbe fare 0.
Maledizione...
Risposte
Provo io.. spero di non aver fatto erroracci
[tex]\lim_{x \to 0^+}\frac{log(1+\sqrt{x+x^3})}{\sqrt{x+x^3}}\frac{\sqrt{x+x^3}}{x} \approx lim_{x ->0^+} \frac{\sqrt{x+O(x)}}{x} = lim_{x->0^+} 1/\sqrt{x} = +\infty[/tex]
Oppure continuando sulla tua strada...
[tex]\lim_{x \to 0^+} [ \frac{(1+x^3)^{\frac{1}{2}}-1}{x^3} + \frac { 1 } { x^3 } ]*x^2 \approx \lim_{x \to 0^+} x^2/x^3 = +\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0^+}\frac{log(1+\sqrt{x+x^3})}{\sqrt{x+x^3}}\frac{\sqrt{x+x^3}}{x} \approx lim_{x ->0^+} \frac{\sqrt{x+O(x)}}{x} = lim_{x->0^+} 1/\sqrt{x} = +\infty[/tex]
Oppure continuando sulla tua strada...
[tex]\lim_{x \to 0^+} [ \frac{(1+x^3)^{\frac{1}{2}}-1}{x^3} + \frac { 1 } { x^3 } ]*x^2 \approx \lim_{x \to 0^+} x^2/x^3 = +\infty[/tex]
Azz....mi sa che non l'ho superata proprio...
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