Un calcolo su cui sto diventando matta
Su un libro sono stati saltati dei passaggi che non riesco a riprodurre. Ometto l'argomento perché molto particolare (criterio di Wiener in $\mathbb{C}$) e inutile alla causa.
La funzione $\gamma$ è una funzione che ad un insieme associa una certa costante, basti sapere che è decrescente. Con $\gamma_n$ intendo $\gamma(E_n)$ dove $E_n$ è una certa sequenza descrescente di insiemi.
Grazie alla convergenza della serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\gamma_n}[/tex] posso dire che esiste una sequenze [tex]N_1, N_2, ... \to \infty[/tex] tale che
[tex]1\leq \epsilon\sum_{N_j}^{N_{j+1}-1}\frac{n \log 2}{\gamma_n}\leq 1+\epsilon[/tex]
Si pone per ogni $j$: [tex]\displaystyle W_j(z)=\epsilon\sum_{N_j}^{N_{j+1}-1}\frac{u_n(z)}{\gamma_n}[/tex] ([tex]u_n[/tex] è una certa funzione sempre minore di $\gamma_n$).
Si dimostra che fissato un dato $k$, per $z \in A_k$ (un certo insieme):
[tex]\frac{u_n (z)}{\gamma_n}\leq
\begin{cases}
1 & \textrm{ if } |n-k|\leq 1\\
\frac{(k+1) \log 2}{\gamma_n}& \textrm{ if } n>k+1\\
\frac{(n+1) \log 2}{\gamma_n}& \textrm{ if } k>n+1 \Leftrightarrow n
Ecco il punto MALEDETTO
[tex]W_j(z)\leq 3\epsilon +(1+\epsilon)\frac{N_j +1}{N_j}[/tex]
Ora, ho pensato di dividere la sommatoria di $W_j$ per sfruttare i 3 casi sopra... e questo spiegherebbe il $3\epsilon$... ma non riesco a trovare il resto del membro a destra! E l' $\frac{N_j +1}{N_j}$ da dove salta fuori?!
Spero che qualcuno mi aiuti, io sto diventando matta.
Paola
La funzione $\gamma$ è una funzione che ad un insieme associa una certa costante, basti sapere che è decrescente. Con $\gamma_n$ intendo $\gamma(E_n)$ dove $E_n$ è una certa sequenza descrescente di insiemi.
Grazie alla convergenza della serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\gamma_n}[/tex] posso dire che esiste una sequenze [tex]N_1, N_2, ... \to \infty[/tex] tale che
[tex]1\leq \epsilon\sum_{N_j}^{N_{j+1}-1}\frac{n \log 2}{\gamma_n}\leq 1+\epsilon[/tex]
Si pone per ogni $j$: [tex]\displaystyle W_j(z)=\epsilon\sum_{N_j}^{N_{j+1}-1}\frac{u_n(z)}{\gamma_n}[/tex] ([tex]u_n[/tex] è una certa funzione sempre minore di $\gamma_n$).
Si dimostra che fissato un dato $k$, per $z \in A_k$ (un certo insieme):
[tex]\frac{u_n (z)}{\gamma_n}\leq
\begin{cases}
1 & \textrm{ if } |n-k|\leq 1\\
\frac{(k+1) \log 2}{\gamma_n}& \textrm{ if } n>k+1\\
\frac{(n+1) \log 2}{\gamma_n}& \textrm{ if } k>n+1 \Leftrightarrow n
Ecco il punto MALEDETTO
[tex]W_j(z)\leq 3\epsilon +(1+\epsilon)\frac{N_j +1}{N_j}[/tex]
Ora, ho pensato di dividere la sommatoria di $W_j$ per sfruttare i 3 casi sopra... e questo spiegherebbe il $3\epsilon$... ma non riesco a trovare il resto del membro a destra! E l' $\frac{N_j +1}{N_j}$ da dove salta fuori?!
Spero che qualcuno mi aiuti, io sto diventando matta.
Paola
Risposte
Forse salta fuori dalla limitazione della serie numero 2 e dalle ultime due condizioni su [tex]$W_j$[/tex]? Provo! 
Allora, sicuramente vale: [tex]W_j(z)\leq 3\epsilon[/tex], se non ho capito male.
Quindi vale anche [tex]W_j(z)\leq 3\epsilon +(1+\epsilon)\frac{N_j +1}{N_j}[/tex], poichè [tex](1+\epsilon)\frac{N_j +1}{N_j}>0[/tex]
Quindi vale anche [tex]W_j(z)\leq 3\epsilon +(1+\epsilon)\frac{N_j +1}{N_j}[/tex], poichè [tex](1+\epsilon)\frac{N_j +1}{N_j}>0[/tex]
Non è così semplice. Non è vero che [tex]W_j (z)\leq 3\epsilon[/tex]. Il fatto è che sfruttando la definizione di [tex]W_j[/tex] sembra dividere la sommatoria in un modo tipo:
[tex]\displaystyle W_j(z)=\epsilon\sum_{|n-k|=1}\frac{u_n (z)}{\gamma_n}+\epsilon\sum_{N_j\leq n
[tex]\epsilon\sum_{|n-k|=1}\frac{u_n (z)}{\gamma_n}\leq 3\epsilon[/tex] perchè gli [tex]n[/tex] che rispettano la condizione della sommatoria sono 3, ovvero [tex]k,k-1,k+1[/tex].
Ma il resto come lo ottengo? L'[tex]1+\epsilon[/tex] capisco che venga da quella condizione iniziale, in qualche modo, ma c'è anche quel [tex]\frac{N_j+1}{N_j}[/tex] che mi depista.
Paola
[tex]\displaystyle W_j(z)=\epsilon\sum_{|n-k|=1}\frac{u_n (z)}{\gamma_n}+\epsilon\sum_{N_j\leq n
[tex]\epsilon\sum_{|n-k|=1}\frac{u_n (z)}{\gamma_n}\leq 3\epsilon[/tex] perchè gli [tex]n[/tex] che rispettano la condizione della sommatoria sono 3, ovvero [tex]k,k-1,k+1[/tex].
Ma il resto come lo ottengo? L'[tex]1+\epsilon[/tex] capisco che venga da quella condizione iniziale, in qualche modo, ma c'è anche quel [tex]\frac{N_j+1}{N_j}[/tex] che mi depista.
Paola
Paola, aspetta un attimo che purtroppo questa roba ha un aspetto veramente terribile ( 
). Cerchiamo di evidenziare i punti più importanti.
Personaggi
). Cerchiamo di evidenziare i punti più importanti. Personaggi
- [*:9dyxqvkf]$epsilon >0$ fissato;[/*:m:9dyxqvkf]
[*:9dyxqvkf]$gamma_n$, una successione positiva crescente abbastanza rapidamente da fare convergere la serie $sum_{n=1}^\infty \frac{n}{gamma_n}$;[/*:m:9dyxqvkf]
[*:9dyxqvkf]$N_1
$1 \le \sum_{n=N_j}^{N_{j+1}-1} frac{n}{gamma_n} log 2 \le 1+ epsilon$; [/*:m:9dyxqvkf]
[*:9dyxqvkf]$u_n$, una successione positiva tale che
$frac{u_n}{gamma_n} \le {(1, |n-k|le 1), ( frac{k+1}{gamma_n}log 2, n >k+1), (frac{n+1}{gamma_n} log 2, n < k-1):}$;[/*:m:9dyxqvkf][/list:u:9dyxqvkf]
Trama
Si definisce $W_j=epsilon sum_{n=N_j}^{N_{j+1}-1} frac{u_n}{gamma_n}$. [...], alla fine
$W_j le 3 epsilon + (1+ epsilon) frac{N_{j+1}}{N_j}$
e vissero tutti felici e contenti.
Cose da fare
Riempire [...].
-------------
E' questo lo schema?
Mi sembra che in ogni caso hai che
[tex]\frac{u_n(z)}{\gamma_n} \leq \frac{(n+1)\log(2)}{\gamma_n}[/tex]
ogni volta che [tex]|n-k|>1[/tex].
Se siamo d'accordo su questo allora scrivendo [tex]\frac{(n+1)\log(2)}{\gamma_n} = \frac{n\log(2)}{\gamma_n} + \frac{\log(2)}{\gamma_n}[/tex] abbiamo
[tex]W_j(z) = \varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{(n+1)\log(2)}{\gamma_n} \leq 3 \varepsilon + (1+\varepsilon) + \varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{\log(2)}{\gamma_n}[/tex].
Per concludere mi sembra che basti mostrare che (*) [tex]\varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{\log(2)}{\gamma_n} \leq \frac{1+\varepsilon}{N_j}[/tex]. Infatti se questo e' vero allora risulta [tex]W_j(z) \leq 3\varepsilon + (1+\varepsilon) + \frac{1+\varepsilon}{N_j}[/tex], che e' quello che vuoi.
Ma (*) mi sembra che segua immediatamente dal fatto che [tex]\varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{n \log(2)}{\gamma_n} \leq 1+\varepsilon[/tex]. Infatti siccome [tex]n \geq N_j[/tex] (cioe' [tex]n/N_j \geq 1[/tex]) hai che [tex]\varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{\log(2)}{\gamma_n} \leq \varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{n}{N_j} \cdot \frac{\log(2)}{\gamma_n} \leq \frac{1+\varepsilon}{N_j}[/tex].
[tex]\frac{u_n(z)}{\gamma_n} \leq \frac{(n+1)\log(2)}{\gamma_n}[/tex]
ogni volta che [tex]|n-k|>1[/tex].
Se siamo d'accordo su questo allora scrivendo [tex]\frac{(n+1)\log(2)}{\gamma_n} = \frac{n\log(2)}{\gamma_n} + \frac{\log(2)}{\gamma_n}[/tex] abbiamo
[tex]W_j(z) = \varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{(n+1)\log(2)}{\gamma_n} \leq 3 \varepsilon + (1+\varepsilon) + \varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{\log(2)}{\gamma_n}[/tex].
Per concludere mi sembra che basti mostrare che (*) [tex]\varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{\log(2)}{\gamma_n} \leq \frac{1+\varepsilon}{N_j}[/tex]. Infatti se questo e' vero allora risulta [tex]W_j(z) \leq 3\varepsilon + (1+\varepsilon) + \frac{1+\varepsilon}{N_j}[/tex], che e' quello che vuoi.
Ma (*) mi sembra che segua immediatamente dal fatto che [tex]\varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{n \log(2)}{\gamma_n} \leq 1+\varepsilon[/tex]. Infatti siccome [tex]n \geq N_j[/tex] (cioe' [tex]n/N_j \geq 1[/tex]) hai che [tex]\varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{\log(2)}{\gamma_n} \leq \varepsilon \sum_{N_j}^{N_{j+1}-1} \frac{n}{N_j} \cdot \frac{\log(2)}{\gamma_n} \leq \frac{1+\varepsilon}{N_j}[/tex].
Martino, complimenti 
Grazie a tutti quanti per esservi messi lì con pazienza. Martino, ti ringrazio tantissimo, non sai che peso mi hai tolto. Finalmente posso chiudere questa lunga e stancante tesina sul criterio di Wiener !
Paola
!Paola
Ah ok quindi ti funziona!
Ma per curiosità, gli [tex]A_k[/tex] sono disgiunti?
In ogni caso complimenti per la chiarezza, hai esposto il problema dicendo tutte e sole le cose essenziali! (non è facile).
Ciao
Ma per curiosità, gli [tex]A_k[/tex] sono disgiunti?
In ogni caso complimenti per la chiarezza, hai esposto il problema dicendo tutte e sole le cose essenziali! (non è facile).
Ciao
Sono gli anelli [tex]A_n=\{z\in\mathbb{C} : 2^{-n}\leq \| z-\zeta\|\leq 2^{-(n-1)}\}[/tex] .
Sono felice che si sia capito quello che volevo dire... purtroppo questa situazione mi capitava alla fine di 25 pagine di preambolo e di concetti, avrei dovuto riportare intere pagine per spiegare tutto!
Paola
Sono felice che si sia capito quello che volevo dire... purtroppo questa situazione mi capitava alla fine di 25 pagine di preambolo e di concetti, avrei dovuto riportare intere pagine per spiegare tutto!
Paola
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