Un calcolo che non ho capito (come approssimazione)
Ciao, cerco un aiuto su un esercizio, o meglio solo un passaggio per cui il Prof fa una approssimazione che non capisco benissimo....
SI ha $B=x^2-y^2$ e l ipoesi che $x \approx y$
Quindi: $(x+y)(x-y)\approx2x(x-y)$
Il mio dubbio sorge qui: perché x+y posso apporssimarlo come x+x=2x mentre x-y non posso scrivere x-x=0?
Mi sembra che usi un diverso trattamento nei due casi.
Anche numericamente in modo stupido direi sia $ x=1.000001$ e $y=1$, sotto questa ipotesi $x-y=0.000001$ e $x+y=2.000001$ l'errore che compio in entrambi i casi è che approssimo a 2 trascurando 0.000001 nella somma; così come apporssimo a zero trascurando 0.000001 nella sottrazione.
Non capisco quindi perché nella somma valga e nella sottrazione no :\
SI ha $B=x^2-y^2$ e l ipoesi che $x \approx y$
Quindi: $(x+y)(x-y)\approx2x(x-y)$
Il mio dubbio sorge qui: perché x+y posso apporssimarlo come x+x=2x mentre x-y non posso scrivere x-x=0?
Mi sembra che usi un diverso trattamento nei due casi.
Anche numericamente in modo stupido direi sia $ x=1.000001$ e $y=1$, sotto questa ipotesi $x-y=0.000001$ e $x+y=2.000001$ l'errore che compio in entrambi i casi è che approssimo a 2 trascurando 0.000001 nella somma; così come apporssimo a zero trascurando 0.000001 nella sottrazione.
Non capisco quindi perché nella somma valga e nella sottrazione no :\
Risposte
Il problema è che se approssimi a zero la differenza, il prodotto si annulla e perdi tutto.
Sì, esatto, infatti nella mia approssimazione avrei detto: "è zero" e basta.
Ma ha senso poter approssimare solo la parte (x+y)? l'idea che mi ero fatto era che "sì, si può, ma a patto che (x+y) sia più approssimabile di (x-y)"
Cosa intendo per piu' approssimabile? Intendo che in qualche modo commetto meno errore approssimando la parte del + che quella con il -, questo era intuitivamente ma non riesco a vederlo. Deduco quindi che in realtà non è così?
Ma ha senso poter approssimare solo la parte (x+y)? l'idea che mi ero fatto era che "sì, si può, ma a patto che (x+y) sia più approssimabile di (x-y)"
Cosa intendo per piu' approssimabile? Intendo che in qualche modo commetto meno errore approssimando la parte del + che quella con il -, questo era intuitivamente ma non riesco a vederlo. Deduco quindi che in realtà non è così?
No, non è così.
Ripeto, se approssimi la differenza a ZERO perdi tutto, è questo il punto cruciale.
Fatti un paio di prove e verifica tu stesso.
Ripeto, se approssimi la differenza a ZERO perdi tutto, è questo il punto cruciale.
Fatti un paio di prove e verifica tu stesso.
@garante: Che io sappia, l'unico modo rigoroso per trattare queste approssimazioni è mediante il concetto di stima asintotica. Due funzioni sono asintotiche per $x \to x_0$ se $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$. Dato che per ogni $x \ne y$ con $x \ne 0$ risulta:
$$\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{x^2-y^2}=\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\lim_{x \to y} \frac{2x}{x+y}=\frac{2x}{2x}=1$$
Si può usare $2x(x-y)$ come approssimazione di $x^2-y^2$ quando $x \to y$. Chiaramente, se si usa $0$ non si ottiene che quel limite è $1$; sostanzialmente, è ciò che sta dicendo axpgn: in quel caso, stai facendo una stima troppo grezza e ottieni addirittura una funzione costante. In che corso hai visto questa approssimazione?
$$\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{x^2-y^2}=\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\lim_{x \to y} \frac{2x}{x+y}=\frac{2x}{2x}=1$$
Si può usare $2x(x-y)$ come approssimazione di $x^2-y^2$ quando $x \to y$. Chiaramente, se si usa $0$ non si ottiene che quel limite è $1$; sostanzialmente, è ciò che sta dicendo axpgn: in quel caso, stai facendo una stima troppo grezza e ottieni addirittura una funzione costante. In che corso hai visto questa approssimazione?
Grazie anche a te Mephlip, siccome sono al primo anno e sto affrontando proprio ora i limiti volevo anche allargare la domanda
Per risponderti: E' un corso di fisica in parallelo con analisi I, quindi cerco sempre di riportare in modo rigoroso le cose viste in altri corsi, dato che vorrei allenarmi essendo una capra
Sì esatto quello mi era chiaro, però in testa mi dicevo: se la stima (x-y)=0 è troppo grezza rispetto a (x+y)=2x allora in qualche modo posso mostrare anche numericamente che porre (x-y)=(x-x) è più grezzo di scrivere (x+y)=(x+x), invece mi pareva che questa idea non funzionava e non capisco bene il motivo.
Quello che voglio cioè dire è che se è troppo grezza, in qualche modo devo riuscire a vedere che (x-y) approssimato in quel modo è più grossolano di (x+y)
Per la domanda sui limiti.
$$\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{x^2-y^2}=\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\lim_{x \to y} \frac{2x}{x+y}=\frac{2x}{2x}=1$$
Sto facendo alcuni esercizi e per serendipità mi ponevo na domanda su un caso simile, ma usiamo questo:
$lim_(x ->y)(x-y)/(x^2-y^2)$ come mai in questo caso non funziona l' "algebretta dei limiti"? cioè quella dove intuitivamente inserisco: $(y-y)/(y^2-y^2)$? non riesco cioè a capire perché in questo caso non funzioni. E' un caso di forma indeterminata?
Per risponderti: E' un corso di fisica in parallelo con analisi I, quindi cerco sempre di riportare in modo rigoroso le cose viste in altri corsi, dato che vorrei allenarmi essendo una capra
in quel caso, stai facendo una stima troppo grezza e ottieni addirittura una funzione costante
Sì esatto quello mi era chiaro, però in testa mi dicevo: se la stima (x-y)=0 è troppo grezza rispetto a (x+y)=2x allora in qualche modo posso mostrare anche numericamente che porre (x-y)=(x-x) è più grezzo di scrivere (x+y)=(x+x), invece mi pareva che questa idea non funzionava e non capisco bene il motivo.
Quello che voglio cioè dire è che se è troppo grezza, in qualche modo devo riuscire a vedere che (x-y) approssimato in quel modo è più grossolano di (x+y)
Per la domanda sui limiti.
$$\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{x^2-y^2}=\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\lim_{x \to y} \frac{2x}{x+y}=\frac{2x}{2x}=1$$
Sto facendo alcuni esercizi e per serendipità mi ponevo na domanda su un caso simile, ma usiamo questo:
$lim_(x ->y)(x-y)/(x^2-y^2)$ come mai in questo caso non funziona l' "algebretta dei limiti"? cioè quella dove intuitivamente inserisco: $(y-y)/(y^2-y^2)$? non riesco cioè a capire perché in questo caso non funzioni. E' un caso di forma indeterminata?
Ciao garante,
Solo apparentemente:
$\lim_(x \to y)(x-y)/(x^2-y^2) = \lim_(x \to y)(x-y)/((x - y)(x + y)) = \lim_(x \to y) 1/(x + y) = 1/(2y) $
"garante":
E' un caso di forma indeterminata?
Solo apparentemente:
$\lim_(x \to y)(x-y)/(x^2-y^2) = \lim_(x \to y)(x-y)/((x - y)(x + y)) = \lim_(x \to y) 1/(x + y) = 1/(2y) $
Ogni tanto passo da qui, e qualche volta ne vale la pena.
Per lo meno dal punto di vista personale.
Questo post mi ha rimandato indietro di qualche anno
Era l'estate del 1977, e seguivo il corso di Analisi Numerica tenuto da Gautschi a Perugia, alla scuola interuniversitaria.
Una delle prime lezioni, centrate sul trattamento degli errori.
Compresi allora che la somma è una cosa diversa dalla differenza, anche se non ricordo più l'esempio specifico che fece: attenzione al rischio di "cancellazioni" indesiderate. Ma, come ogni volta che si apprende davvero qualcosa di nuovo, per giunta toccandolo con mano, è sempre rimasto un po' di posto nella mia memoria, anche se magari in uno sgabuzzino polveroso.
Io la farei molto semplice.
$x=y+c$ (vale sempre, basta scegliere $c=...$)
Allora:
$(x+y)(x-y)=(y+c+y)(y+c-y)=(2y+c)c$
Come osservi tu, se a $c$ sostituisci $0$ ti sparisce tutto.
Ovviamente stiamo immaginando che $c$ sia "molto più piccolo" di $y$, se pensiamo di fare cose sensate.
E certamente è vero che comunque la quantità che si ottiene è "piccola".
Ma il prof, da buon fisico, non vuole rimanere con un pugno di mosche in mano. Gli interessa sapere che il risultato è:
$(2y+c)c$. Ovvero $2yc+c^2$
E, quindi, se $c$ è "molto più piccolo" di $y$, sa che viene qualcosa tipo $2yc$, trascurando il termine $c^2$
Come esempio, basta prendere i dati che (giustamente) hai preso tu per fare una prova.
Vedi come il risultato che emerge in questo modo offre una lettura più interessante che non dire "è praticamente 0".
Nota finale, da vecchio ex prof, molto paternalista (nonnista).
Complimenti, vai avanti così. Ottimo esempio di come si dovrebbe studiare.
E complimenti per esserti fatto un esempio. Ti stupirà, ma sono troppi i tuoi colleghi che neanche ci pensano, a questa opportunità.
Ci rivedremo, almeno in spirito, quando incrocerai l'urang-utang
Per lo meno dal punto di vista personale.
Questo post mi ha rimandato indietro di qualche anno
Era l'estate del 1977, e seguivo il corso di Analisi Numerica tenuto da Gautschi a Perugia, alla scuola interuniversitaria.
Una delle prime lezioni, centrate sul trattamento degli errori.
Compresi allora che la somma è una cosa diversa dalla differenza, anche se non ricordo più l'esempio specifico che fece: attenzione al rischio di "cancellazioni" indesiderate. Ma, come ogni volta che si apprende davvero qualcosa di nuovo, per giunta toccandolo con mano, è sempre rimasto un po' di posto nella mia memoria, anche se magari in uno sgabuzzino polveroso.
Io la farei molto semplice.
$x=y+c$ (vale sempre, basta scegliere $c=...$)
Allora:
$(x+y)(x-y)=(y+c+y)(y+c-y)=(2y+c)c$
Come osservi tu, se a $c$ sostituisci $0$ ti sparisce tutto.
Ovviamente stiamo immaginando che $c$ sia "molto più piccolo" di $y$, se pensiamo di fare cose sensate.
E certamente è vero che comunque la quantità che si ottiene è "piccola".
Ma il prof, da buon fisico, non vuole rimanere con un pugno di mosche in mano. Gli interessa sapere che il risultato è:
$(2y+c)c$. Ovvero $2yc+c^2$
E, quindi, se $c$ è "molto più piccolo" di $y$, sa che viene qualcosa tipo $2yc$, trascurando il termine $c^2$
Come esempio, basta prendere i dati che (giustamente) hai preso tu per fare una prova.
Vedi come il risultato che emerge in questo modo offre una lettura più interessante che non dire "è praticamente 0".
Nota finale, da vecchio ex prof, molto paternalista (nonnista).
Complimenti, vai avanti così. Ottimo esempio di come si dovrebbe studiare.
E complimenti per esserti fatto un esempio. Ti stupirà, ma sono troppi i tuoi colleghi che neanche ci pensano, a questa opportunità.
Ci rivedremo, almeno in spirito, quando incrocerai l'urang-utang
@Fioravante Patrone: grazie mille per e tue parole e per lo spunto. E' un bellissimo esempio di spiegazione spostando il dubbio su una soluzione pulita e semplice. Mi entusiasma sempre quando incontro soluzioni del genere.
Comunque, in sostanza, da tutte le vostre risposte mi pare proprio di aver capito che quando si approssima x+y=2x=2y anziché x-y=0 non è che mi permetta l'una di fare meno errore dell'altra approssimazione. Il problema operativo è che come dice Fioravante alla fine mi troverei con un pugno di mosche in mano operando in un certo modo, e dato che non siamo degli stupidi ci riduciamo ad apporssimare la parte più "furba" ma che comunque ci lasci una valutazione quantitativa del problema.
@pilloeffe: sì esatto solo apparentemente, mi spiego meglio. Quello che volevo dire è questo: non riesco ad operare la sostituzione come "algebretta dei limiti" perché mi riduco a una forma 0/0, questo mi segnala che posso operare in modo intelligente e portarmi come hai fato tu al risultato 1/2y.
Il senso della mia domanda su quel limite era questo: solitamente coi limiti posso fare la sostituzione che avevo fatto nel post prima del tuo, ma come faccio ad accorgermi che in questo caso non funziona? Beh lo capisco perché ottengo 0/0 quindi devo cercare un'altra via risolutiva. E' corretto? Questo chiedvo
E per intanto BUONE FESTE a tutti!
Comunque, in sostanza, da tutte le vostre risposte mi pare proprio di aver capito che quando si approssima x+y=2x=2y anziché x-y=0 non è che mi permetta l'una di fare meno errore dell'altra approssimazione. Il problema operativo è che come dice Fioravante alla fine mi troverei con un pugno di mosche in mano operando in un certo modo, e dato che non siamo degli stupidi ci riduciamo ad apporssimare la parte più "furba" ma che comunque ci lasci una valutazione quantitativa del problema.
@pilloeffe: sì esatto solo apparentemente, mi spiego meglio. Quello che volevo dire è questo: non riesco ad operare la sostituzione come "algebretta dei limiti" perché mi riduco a una forma 0/0, questo mi segnala che posso operare in modo intelligente e portarmi come hai fato tu al risultato 1/2y.
Il senso della mia domanda su quel limite era questo: solitamente coi limiti posso fare la sostituzione che avevo fatto nel post prima del tuo, ma come faccio ad accorgermi che in questo caso non funziona? Beh lo capisco perché ottengo 0/0 quindi devo cercare un'altra via risolutiva. E' corretto? Questo chiedvo
E per intanto BUONE FESTE a tutti!
"garante":
solitamente coi limiti posso fare la sostituzione che avevo fatto nel post prima del tuo, [...]
Attenzione a questa "sostituzione", che si può fare se la funzione in esame è definita (e la funzione $(x - y)/(x^2 - y^2) $ non è definita in $x = y$) e dove è definita è continua, cioè se
$\lim_{x \to y} f(x) = f(y) $
altrimenti in generale non si può fare: il concetto di limite è diverso dal concetto di valore assunto dalla funzione in quel punto...
Sì, verissimo, quello che dici mi è chiaro.
Penso che confondessi quello che di solito si fa (a livello mentale) quando ad esempio il limite tende a x->oo a quel punto spesso per calcolarlo si pensa a una sostituzione della x con infinito e si guarda l'andamento della funzione per quel "valore infinito" anche se $oo!inRR$ per intenderci.
La mia idea era quindi qui fare qualcosa di simile, cioè se x->oo mi permette di dire per x molto grande quali "termini nel confronto tra infiniti rimangono?" (cioè una sorta di "sostituzione" del valore oo in x) allo stesso modo dicevo x->x0, vado a sostituire x0 e vedo come si comporta la funzione. (ma mi pare di capire che mentre per oo funziona non funziona questa "tecnica" con x0 proprio perché nel nostro caso per x=x0x=y la funzione non è definita). Giusto?
Penso che confondessi quello che di solito si fa (a livello mentale) quando ad esempio il limite tende a x->oo a quel punto spesso per calcolarlo si pensa a una sostituzione della x con infinito e si guarda l'andamento della funzione per quel "valore infinito" anche se $oo!inRR$ per intenderci.
La mia idea era quindi qui fare qualcosa di simile, cioè se x->oo mi permette di dire per x molto grande quali "termini nel confronto tra infiniti rimangono?" (cioè una sorta di "sostituzione" del valore oo in x) allo stesso modo dicevo x->x0, vado a sostituire x0 e vedo come si comporta la funzione. (ma mi pare di capire che mentre per oo funziona non funziona questa "tecnica" con x0 proprio perché nel nostro caso per x=x0x=y la funzione non è definita). Giusto?
Sì, il caso di $x \to \pm \infty $ non è un problema, infatti si ha:
$\lim_{x \to \pm \infty} (x - y)/(x^2 - y^2) = 0 $
L'asse $x$ è asintoto orizzontale per la funzione $f(x ; y) = (x - y)/(x^2 - y^2) $
$\lim_{x \to \pm \infty} (x - y)/(x^2 - y^2) = 0 $
L'asse $x$ è asintoto orizzontale per la funzione $f(x ; y) = (x - y)/(x^2 - y^2) $
Sì, esattamente.
Volevo solo chiederti un'ultima curiosità: prima avevo detto che sostituendo in modo diretto arrivavo a una (apparente) forma indeterminata 0/0.
però apparente nel senso che è indeterminata per via, come mi facevi notare, della non continuità.
La domanda che mi ponevo è questa: se si fa un errore di sostituire in una funzione non continua come ho fatto io il valore del punto a cui faccio tendere il limite, ottengo sempre qualcosa di indeterminato? Cioè voglio dire, in qualche modo ottengo qualcosa di "incongruente" che mi "segnala" l'errore fatto?
Cioè ottengo sempre un qualcosa tipo 0/0?
Volevo solo chiederti un'ultima curiosità: prima avevo detto che sostituendo in modo diretto arrivavo a una (apparente) forma indeterminata 0/0.
però apparente nel senso che è indeterminata per via, come mi facevi notare, della non continuità.
La domanda che mi ponevo è questa: se si fa un errore di sostituire in una funzione non continua come ho fatto io il valore del punto a cui faccio tendere il limite, ottengo sempre qualcosa di indeterminato? Cioè voglio dire, in qualche modo ottengo qualcosa di "incongruente" che mi "segnala" l'errore fatto?
Cioè ottengo sempre un qualcosa tipo 0/0?
No. Prova a costruire un esempio. Se non ci riesci, guarda quello che ti metto sotto spoiler (però provaci con ostinazione da solo, almeno per un po': è fondamentale sviluppare la capacità di costruirsi esempi. Serve proprio a sviluppare la maturità matematica per potersi dare da soli risposte ai dubbi che ci poniamo).
Il punto è che non bisogna pensare alle funzioni come quelle aventi come grafico curve continue nel piano: quelle sono solo particolari funzioni, una classe molto lussuosa di funzioni (che, in generale, sono oggetti ben più brutti di quelle aventi come grafico una curva continua nel piano).
Il punto è che non bisogna pensare alle funzioni come quelle aventi come grafico curve continue nel piano: quelle sono solo particolari funzioni, una classe molto lussuosa di funzioni (che, in generale, sono oggetti ben più brutti di quelle aventi come grafico una curva continua nel piano).
Ho pensato esattamente a quella, in effetti non so come formalizzare la mia idea perché quella è una funzione a tutti gli effetti. Diciamo che la mia domanda era la precedente però pensando a funzioni simili a quella vista $(x-y)/(x^2-y^2)$ cioè che abbiano una forma funzionale esplicita (non saprei come chiamarla in modo corretto): funzioni algebriche.
Quella con due rami è il controesempio che mi sono fatto però non mi soddisfaceva.
Insomma: quella algebrica mi sembra sempre portarmi a una "indeterminatezza"
Quella con due rami è il controesempio che mi sono fatto però non mi soddisfaceva.
Insomma: quella algebrica mi sembra sempre portarmi a una "indeterminatezza"
E perché la $f$ proposta nello spoiler non è algebrica? E poi ha una forma funzionale esplicita, vale $0$ se $x=0$ e $1$ se $x \ne 0$. Più esplicito di così 
. Non farti fregare dal formalismo, ossia dal fatto che è "definita a tratti". È una funzione esattamente come lo è qualsiasi altra.
Comunque, il discorso non è molto profondo perché il concetto di forma indeterminata è semplicemente un modo compatto per dire: "Non possiamo dedurre il valore di un limite in una differenza, in un prodotto, in un rapporto o in un elevamento a potenza dai singoli limiti che compaiono in queste operazioni". Perciò, non è che esistano le forme indeterminate: semplicemente, in quei casi non si possono applicare in maniera immediata i teoremi algebrici sui limiti. E ciò non dovrebbe stupirti troppo, perché i teoremi algebrici sono appunto teoremi e hanno delle ipotesi: nel caso delle forme indeterminate significa semplicemente che tali ipotesi non sono verificate. Poi, purtroppo, didatticamente si passa lo stesso al limite scrivendo cose come $+\infty-\infty$ o $\frac{0}{0}$ che non hanno un vero e proprio senso matematico.
A questo punto, ti chiederei di ragionare sul seguente fatto: $\lim_{x \to +\infty} 0$ è o non è una forma indeterminata, visto che $0=x-x$ e quindi $\lim_{x \to +\infty} 0 =\lim_{x \to +\infty}(x-x)$?
. Non farti fregare dal formalismo, ossia dal fatto che è "definita a tratti". È una funzione esattamente come lo è qualsiasi altra.Comunque, il discorso non è molto profondo perché il concetto di forma indeterminata è semplicemente un modo compatto per dire: "Non possiamo dedurre il valore di un limite in una differenza, in un prodotto, in un rapporto o in un elevamento a potenza dai singoli limiti che compaiono in queste operazioni". Perciò, non è che esistano le forme indeterminate: semplicemente, in quei casi non si possono applicare in maniera immediata i teoremi algebrici sui limiti. E ciò non dovrebbe stupirti troppo, perché i teoremi algebrici sono appunto teoremi e hanno delle ipotesi: nel caso delle forme indeterminate significa semplicemente che tali ipotesi non sono verificate. Poi, purtroppo, didatticamente si passa lo stesso al limite scrivendo cose come $+\infty-\infty$ o $\frac{0}{0}$ che non hanno un vero e proprio senso matematico.
A questo punto, ti chiederei di ragionare sul seguente fatto: $\lim_{x \to +\infty} 0$ è o non è una forma indeterminata, visto che $0=x-x$ e quindi $\lim_{x \to +\infty} 0 =\lim_{x \to +\infty}(x-x)$?
Come postilla a quello che dice Mephlip, cioè che una forma indeterminata è solo un'apparenza, è una misura della nostra ignoranza in certi casi più che una cosa intrinseca alla funzione, possiamo dire che ogni funzione di cui facciamo un limite si può trasformare in forma indeterminata.
Ad esempio:
$lim _{x\rightarrow 0} 1/2=1/2$ è determinato.
Se scriviamo (per $x\ne0$)
$lim _{x\rightarrow 0} (1/2x)/x=1/2$
abbiamo la forma indeterminata $0/0$.
Se siamo mooolto ignoranti , non sappiamo ricondurci alla prima forma, e restiamo nell'indeterminatezza.
Ad esempio:
$lim _{x\rightarrow 0} 1/2=1/2$ è determinato.
Se scriviamo (per $x\ne0$)
$lim _{x\rightarrow 0} (1/2x)/x=1/2$
abbiamo la forma indeterminata $0/0$.
Se siamo mooolto ignoranti
, non sappiamo ricondurci alla prima forma, e restiamo nell'indeterminatezza.
"garante":
Quello che volevo dire è questo: non riesco ad operare la sostituzione come "algebretta dei limiti" perché mi riduco a una forma 0/0, questo mi segnala che posso operare in modo intelligente e portarmi come hai fato tu al risultato 1/2y.
"garante":
.
Volevo solo chiederti un'ultima curiosità: prima avevo detto che sostituendo in modo diretto arrivavo a una (apparente) forma indeterminata 0/0.
però apparente nel senso che è indeterminata per via, come mi facevi notare, della non continuità.
La domanda che mi ponevo è questa: se si fa un errore di sostituire in una funzione non continua come ho fatto io il valore del punto a cui faccio tendere il limite, ottengo sempre qualcosa di indeterminato? Cioè voglio dire, in qualche modo ottengo qualcosa di "incongruente" che mi "segnala" l'errore fatto?
Cioè ottengo sempre un qualcosa tipo 0/0?
No, per ribadire ancora quello che ha detto Mephlip, non ottieni sempre un forma indeterminata e non è quello che ti segnala l'errore nell'uso dell' "algebretta dei limiti", (diciamo 'algebra' se no si offendono
)Per dirlo in modo terra terra, per avere una forma indeterminata $0/0$ devo avere $0$ sia sopra che sotto, come nel caso $ (x-y)/(x^2-y^2) $ per $x\rightarrow y$ .
Se avessi invece ad esempio $ 2/(x^2-y^2) $ per $x\rightarrow y$ avresti $0$ solo al denominatore , cioè avresti $2/0$ che non è indeterminata, è infinito, anche se hai fatto 'la sostituzione' di cui parlavi.
E così altri milioni di miliardi di funzioni del tipo a cui ti riferisci, quelle espresse da una formula 'tutta di un pezzo'.
Nell'uso dell'algebra dei limiti, non c'entra, però, se la funzione è definita o meno nel punto in cui si fa il limite, se è lì continua, o che valore assume lì.
E, usando l'algebra dei limiti, non stai facendo nessuna sostituzione, stai usando dei teoremi, che prescindono dal fatto se la funzione è continua o no (e quindi puoi sostituire il valore della funzione nel punto per calcolare il limite).
Diciamo che quando andiamo a fare un limite di una funzione in un punto $c$, del valore della funzione in quel punto o se lì è definita o meno, o se è continua, ce ne freghiamo, tale eventuale valore non entra nella definizione di limite.
L'unica condizione su $c$ è che sia un punto di accumulazione del dominio.
Quando vai a usare l'algebra dei limiti, per vedere se l'hai usata bene, devi solo andare a vedere, meticolosamente, cosa dicono i teoremi.
Teorema sul limite del rapporto:
Consideriamo due funzioni $f$ e $g$ bla bla bla, e supponiamo che per $x\rightarrowc$ si abbia:
$f(x)\rightarrow L$ e $g(x)\rightarrow M$, (dove $L$ e $M$ sono due numeri reali) . Se $M!=0$ si ha
$$f/g\rightarrow L/M$$
Fine della storia. Quello che è necessario è che il secondo limite $M$ sia diverso da $0$, stop e cordiali saluti.
E non ci interessa come si comporta la funzione in $c$.
Nel caso della tua funzione precedente la funzione lì, in $y$, non era definita, ma non è questo il punto, il punto è che il limite al denominatore era zero.
Attenzione che nel teorema si parla di limiti finiti, $L$ e $M$ sono due numeri reali.
Per fare un esempio in cui possiamo applicare l'algebra anche se la funzione $g$ al denominatore nel punto $c$ non è definita o non è continua, guardiamo un esempio scemo:
$$g(x)=\begin{cases} 2, \ \text{se} \ x \neq 0\\ 3, \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
La funzione $g(x)$ non è evidentemente continua in $0$, ma ce ne freghiamo, perché per $x\rightarrow0$ ha limite $2\ne0$, e possiamo applicare l'algebra dei limiti e fare il limite per $x\rightarrow0$ di $f/g$, quale che sia $f$.
Idem, si può immaginare il caso, altro esempio scemo, in cui la funzione $g$ non è definita in $c$, ma il limite esiste $!=0$
Esempio:
$f(x)=5$, $g(x)=sin x/x$
e vogliamo
$$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)/g(x)$$.
$g(x)=sin x/x$ non è definita in $0$, ma il limite esiste a fa $1$, quindi possiamo usare l'algebra dei limiti e abbiamo:
$$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)/g(x) = 5/1=5.$$.
(Attenzione! Il caso sopramenzionato $2/0$ non rientra in questi teoremi sulle operazioni sui limiti finiti di cui stiamo parlando, è un altro caso, quello dei limiti infiniti).
Aggiungo solo una piccolissima considerazione; spesso capita che gli studenti vedano forme indeterminate dove non ci sono perché confondono qualcosa che è zero con qualcosa che tende a zero.
Per esempio $lim_(x->0) (x-x)/x$ e $lim_(x->0) sin(x)/x$
Per esempio $lim_(x->0) (x-x)/x$ e $lim_(x->0) sin(x)/x$
Vi ringrazio davvero molto perché ho afferrato il punto che non capivo bene prima. Finalmente ho proprio capito il punto!
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