Un bello studio di funzione integrale
ciao, ho già letto il post sulle funzioni integrali, però volevo chiedere comunque un aiuto....
la funzione è $ int_(2)^(x) log(t-1)/(1+t^2)*dt $
io per prima cosa mi sono studiato la funzione integranda (sperando di non aver sbagliato):
il dominio è $ ]1 , +oo[ $ e studiando il segno vedo che $ f(x)>0 per x>2 $ e $ f(x)<0 per x<2 $
poi ci sono i limiti:
$ lim_(x -> 1+) f(x) = -oo $
$ lim_(x -> +oo) f(x) = 0 $ ho usato l'hopital 2 volte....
ora posso iniziare a studiare F(x) ok?
allora so che per $ x>2 $ F(x)= $ int_(2)^(x) log(t-1)/(1+t^2)*dt $
e per $ x<2 $ F(x)= $ - int_(x)^(2) log(t-1)/(1+t^2)*dt $
inoltre per $ F(2)=0 $
il dominio è come quello della funzione integranda quindi da 1 a infinito
e il segno è chiaro guardando il grafico della funzione integranda, cioè $ F(x)>0 $ per $ x>2 $ e $ F(x)<0 $ per $ x<2 $.
ora devo fare i limiti agli estremi del dominio giusto? beh qui mi blocco....intanto ditemi se ho fatto giusto fino ad ora...
grazie mille per l'aiuto!
la funzione è $ int_(2)^(x) log(t-1)/(1+t^2)*dt $
io per prima cosa mi sono studiato la funzione integranda (sperando di non aver sbagliato):
il dominio è $ ]1 , +oo[ $ e studiando il segno vedo che $ f(x)>0 per x>2 $ e $ f(x)<0 per x<2 $
poi ci sono i limiti:
$ lim_(x -> 1+) f(x) = -oo $
$ lim_(x -> +oo) f(x) = 0 $ ho usato l'hopital 2 volte....
ora posso iniziare a studiare F(x) ok?
allora so che per $ x>2 $ F(x)= $ int_(2)^(x) log(t-1)/(1+t^2)*dt $
e per $ x<2 $ F(x)= $ - int_(x)^(2) log(t-1)/(1+t^2)*dt $
inoltre per $ F(2)=0 $
il dominio è come quello della funzione integranda quindi da 1 a infinito
e il segno è chiaro guardando il grafico della funzione integranda, cioè $ F(x)>0 $ per $ x>2 $ e $ F(x)<0 $ per $ x<2 $.
ora devo fare i limiti agli estremi del dominio giusto? beh qui mi blocco....intanto ditemi se ho fatto giusto fino ad ora...
grazie mille per l'aiuto!
Risposte
nessuno?
Controlla i segni: si ha $F(x) > 0$ per ogni $x>1$, $x\ne 2$.
Poiché $F$ è monotona decrescente in $(1,2)$ e crescente in $(2,+\infty)$, i limiti
$\lim_{x\to 1+} F(x)$ e $\lim_{x\to +\infty} F(x)$ esistono, finiti o $+\infty$.
Per stabilire se sono finiti o $+\infty$ devi studiare la convergenza degli integrali
$\int_1^2$ e $\int_2^{+\infty}$.
Poiché $F$ è monotona decrescente in $(1,2)$ e crescente in $(2,+\infty)$, i limiti
$\lim_{x\to 1+} F(x)$ e $\lim_{x\to +\infty} F(x)$ esistono, finiti o $+\infty$.
Per stabilire se sono finiti o $+\infty$ devi studiare la convergenza degli integrali
$\int_1^2$ e $\int_2^{+\infty}$.
per il segno è perchè c'è il meno davanti e l'integrale viene ribaltato giusto???? quindi viene un'area negativa moltiplicata per $ -1 $....ok
ora provo con i limiti....
grazie mille!!!
ora provo con i limiti....
grazie mille!!!
nel primo limite per $ x->1+ $ è giusto maggiorarlo con $ int_(1)^(2) 1/(1+t^2)*dt $ che sarebbe la derivata dell'arcotangente??? cioè se è integrabile $ 1/(1+t^2) $ allora lo è anche la mia funzione che è sempre minore, giusto?
Visto che $\log(t-1)\to -\infty$ per $t\to 1^-$, la maggiorazione da te proposta mi sembra improbabile.
Per $t\in (1,2)$ hai che $1+t^2 > 2$; puoi fare quindi una maggiorazione del tipo
$|f(t)| \le \frac{|\log(t-1)|}{2}$;
devi solo stabilire se quest'ultima funzione è integrabile.
Per $t\in (1,2)$ hai che $1+t^2 > 2$; puoi fare quindi una maggiorazione del tipo
$|f(t)| \le \frac{|\log(t-1)|}{2}$;
devi solo stabilire se quest'ultima funzione è integrabile.
mmm non ho capito perchè il modulo della funzione è minore del modulo del logaritmo moltiplicato per 2...ma cmq non è giusto anche il mio ragionamento? e una volta che so che è integrabile, devo ancora trovare il valore del limite $ x->1 $ di F(x) e poi per $ x->+oo $
La maggiorazione che ti ho scritto vale per $t\in (1,2)$ (basta minorare il denominatore), e ti permette di stabilire, per confronto, che la funzione è integrabile in senso generalizzato in $(1,2)$ e che, quindi, esiste finito $\lim_{x\to 1^+} F(x)$.
In generale non puoi calcolare esplicitamente questi limiti, a meno di non saper trovare una primitiva di $f$.
Si dimostra anche l'integrabilità in $(2,+\infty)$, quindi anche il limite $\lim_{x\to +\infty} F(x)$ esiste finito (ma, come prima, calcolarne il valore è un altro paio di maniche...).
In generale non puoi calcolare esplicitamente questi limiti, a meno di non saper trovare una primitiva di $f$.
Si dimostra anche l'integrabilità in $(2,+\infty)$, quindi anche il limite $\lim_{x\to +\infty} F(x)$ esiste finito (ma, come prima, calcolarne il valore è un altro paio di maniche...).
ah ok allora ho capito! grazie
ora dovrei calcolare i limiti della derivata per vedere massimi o minimi e poi dovrebbe essere completo lo studio giusto?
la derivata è la funzione integranda in questo caso giusto?
ora dovrei calcolare i limiti della derivata per vedere massimi o minimi e poi dovrebbe essere completo lo studio giusto?
la derivata è la funzione integranda in questo caso giusto?
Per max o min devi studiare il segno della derivata di $F$ (che è $f$).
Per quanto già detto, ci sarà un unico punto di minimo assoluto in $2$.
Per quanto già detto, ci sarà un unico punto di minimo assoluto in $2$.
grazie per l'aiuto!
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