Un bell'esercizio sulla continuità
Ciao ragazzi, cerco aiuto per il seguente teorema.
Si consideri una funzione f : R --> R tale che
f(x) = 0 se x è irrazionale
f(x) = 1/b se x = a/b è razionale (dove a/b è l’unico modo per scrivere il numero razionale x come quoziente di numeri interi a e b primi fra loro).
Si dimostri che f è continua in ogni punto irrazionale mentre è discontinua in ogni punto razionale.
Grazie anticipate!
Si consideri una funzione f : R --> R tale che
f(x) = 0 se x è irrazionale
f(x) = 1/b se x = a/b è razionale (dove a/b è l’unico modo per scrivere il numero razionale x come quoziente di numeri interi a e b primi fra loro).
Si dimostri che f è continua in ogni punto irrazionale mentre è discontinua in ogni punto razionale.
Grazie anticipate!
Risposte
per la discontinuità sui razionali non credo ci siano difficoltà...in quanto ogni numero razionale può essere approssimato con una successione di soli numeri irrazionali...quindi se $x_{n}\to x$ dove $x_{n}$ è irrazionale per ogni n e $x\in QQ$ allora ovviamente $f(x_{n})$ non tende a $f(x)$.
per vedere la continuità sugli irrazionali ti consiglio di contare quanti sono i punti dell'intervallo $[0,1]$ per cui $f(x)$ è maggiore di $1/10$.
a presto
per vedere la continuità sugli irrazionali ti consiglio di contare quanti sono i punti dell'intervallo $[0,1]$ per cui $f(x)$ è maggiore di $1/10$.
a presto
"miuemia":
per vedere la continuità sugli irrazionali ti consiglio di contare quanti sono i punti dell'intervallo $[0,1]$ per cui $f(x)$ è maggiore di $1/10$.
Scusami, ma questa indicazione non l'ho proprio capita! Saresti così gentile da svolgere il ragionamento passo per passo?
Grazie anticipate!
Allora se $x$ è irrazionale allora $f(x)=0$ adesso prendi un intorno di zero cioè fissa $\epsilon>0$ adesso
soltanto per un numero finito di $n$ si ha che $1/n >\epsilon$ quindi vuol dire che riesco a trovare sicuramente un intorno di $x$ in cui cadono numeri razionali $m/n$ per cui $1/n<\epsilon$.
Quindi $f$ è continua
soltanto per un numero finito di $n$ si ha che $1/n >\epsilon$ quindi vuol dire che riesco a trovare sicuramente un intorno di $x$ in cui cadono numeri razionali $m/n$ per cui $1/n<\epsilon$.
Quindi $f$ è continua
Lorenzo, scusami, ma proprio tu che ci insegni il [tex]\LaTeX[/tex] non usi la sintassi apposta nei tuoi post?!? 
Ad ogni modo, per il tuo problema, bastava una rapida ricerca. Uno (in particolare, riporto [url=https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:sR4DqHf4HN0J:www.math.washington.edu/~morrow/334_11/thomae.pdf+thomae's+function&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESh2npSaYf0BrJOxM1HmKmswza5pYPzDoDxklnQ-b6LdM6sX8mlrgx-tdh-XbHx23Owe9mGrubu_9x-CuGMOqijbGxTVM4kEkYpmX_i3yZ2zZJsIoftx1T5hWLw8qj11lZORwCz7&sig=AHIEtbSgeWP5wuQlGgsFYxDUvz8Bieg0yA]questo[/url] link segnalato da delirium), due e tre.
L'esercizio c'è sul Prodi 1 e - se ben ricordo - una soluzione (anche solo parziale) c'è sul Giusti (non ricordo quale dei due volumi). Buona lettura.
Ad ogni modo, per il tuo problema, bastava una rapida ricerca. Uno (in particolare, riporto [url=https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:sR4DqHf4HN0J:www.math.washington.edu/~morrow/334_11/thomae.pdf+thomae's+function&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESh2npSaYf0BrJOxM1HmKmswza5pYPzDoDxklnQ-b6LdM6sX8mlrgx-tdh-XbHx23Owe9mGrubu_9x-CuGMOqijbGxTVM4kEkYpmX_i3yZ2zZJsIoftx1T5hWLw8qj11lZORwCz7&sig=AHIEtbSgeWP5wuQlGgsFYxDUvz8Bieg0yA]questo[/url] link segnalato da delirium), due e tre.
L'esercizio c'è sul Prodi 1 e - se ben ricordo - una soluzione (anche solo parziale) c'è sul Giusti (non ricordo quale dei due volumi). Buona lettura.
Eh, dev'essere vera la storia che "il calzolaio gira con le scarpe rotte"! 
))
Grazie per i link, ma mi ci perdo.
Ti andrebbe di riassumermi nel modo più semplice possibile perché è continua sugli irrazionali?
grazie!
))Grazie per i link, ma mi ci perdo.
Ti andrebbe di riassumermi nel modo più semplice possibile perché è continua sugli irrazionali?grazie!
"miuemia":
Allora se $x$ è irrazionale allora $f(x)=0$ adesso prendi un intorno di zero cioè fissa $\epsilon>0$ adesso
soltanto per un numero finito di $n$ si ha che $1/n >\epsilon$ quindi vuol dire che riesco a trovare sicuramente un intorno di $x$ in cui cadono numeri razionali $m/n$ per cui $1/n<\epsilon$.
Quindi $f$ è continua
Scusami, ma non capisco la conclusione!
è lo stesso identico ragionamento che si trova nei link a te suggeriti!!
quello che ho applicato è la definizione di limite tutto qui.
Per ogni epsilon positivo riesco a trovare un $\delta_{\epsilon}>0$ tale che per ogni $x$ razionale in $(c-\delta_{\epsilon},c-\delta_{\epsilon})$ si ha che $|f(x)-0|<\epsilon$.
quello che ho applicato è la definizione di limite tutto qui.
Per ogni epsilon positivo riesco a trovare un $\delta_{\epsilon}>0$ tale che per ogni $x$ razionale in $(c-\delta_{\epsilon},c-\delta_{\epsilon})$ si ha che $|f(x)-0|<\epsilon$.
Provo a riassumere, per vedere se ho capito.
Ho capito bene?
Garzie mille, ragazzi!
La discontinuità sui razionali si prova sfruttando il fatto che una funzione è continua in $x$ se e solo se $f(x_n)\to f(x)$ per ogni successione $x_n\to x$. Poiché ogni numero razionale $x$ può essere approssimato con una successione $x_n$ di soli numeri irrazionali, si ha che $x_n\to x$, ma ovviamente $f(x_n)$ non tende a $f(x)$.
La discontinuità sugli irrazionali si prova tenendo conto che, per definizione, una funzione è continua in $a$ se e solo se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ per ogni $x$ appartenente all'intervallo $(a-\delta,a+\delta)$. Se $a$ è irrazionale, allora $f(a)=0$, quindi bisogna provare che per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta$ tale che $|f(x)|<\epsilon$ per ogni $x$ nell'intervallo $(a-\delta,a+\delta)$. Sia $\epsilon>0$; allora solo per un numero finito di $n$ si ha che $\frac{1}{n}>\epsilon$. Ciò significa che esiste $\delta$ tale che nell'intervallo $(a-\delta,a+\delta)$ ci sono solo numeri razionali $\frac{m}{n}$ con $\frac{1}{n}<\epsilon$. Quindi $f(\frac{m}{n})=\frac{1}{n}<\epsilon$. Quindi $f$ è continua.
Ho capito bene?
Garzie mille, ragazzi!
si
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