(Un altro) integrale triplo
Buongiorno, torno all'attacco anche oggi. Il nemico è sempre un integrale triplo,
Sia \(\Omega =\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : y^2+z^2-2\leq x\leq -\sqrt{2-y^2-z^2} \right \}\)
, quanto vale l'integrale \(\int_{\Omega }^{} x dxdydz\) ?
Ho fatto vari esercizi di questo tipo ma in questo specifico caso sbaglio qualche passaggio che compromette il risultato. Ho provato ad integrare in x e poi a passare in coordinate polari per l'integrale doppio ma il risultato non è corretto e inoltre ho la sensazione che il modo in cui è scritto Omega serva a farmi semplificare qualcosa. Qualcuno mi aiuti
Sia \(\Omega =\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : y^2+z^2-2\leq x\leq -\sqrt{2-y^2-z^2} \right \}\)
, quanto vale l'integrale \(\int_{\Omega }^{} x dxdydz\) ?
Ho fatto vari esercizi di questo tipo ma in questo specifico caso sbaglio qualche passaggio che compromette il risultato. Ho provato ad integrare in x e poi a passare in coordinate polari per l'integrale doppio ma il risultato non è corretto e inoltre ho la sensazione che il modo in cui è scritto Omega serva a farmi semplificare qualcosa. Qualcuno mi aiuti
Risposte
A me sembra che il tuo approccio sia corretto, forse devi rivedere i conti. Purtroppo, se non si scrivono qua i conti, non possiamo aiutarti più di tanto a capire se c'è un errore di calcolo. So che ci vuole tempo a trascrivere tutto qui, ma è l'unico modo per aiutarti in questo contesto.
Ok inserisco i calcoli che ho fatto.
Integrando in x trovo \(1/2[(2-y^2-z^2)-(y^2+z^2-2)^2]\), a questo punto passo in coordinate polari e ho
\(1/2\int\rho [(2-\rho^2)-(\rho ^2-2)^2] d\rho d\vartheta\) con \(1\leq \rho \leq \sqrt{2} ,0\leq \vartheta \leq 2\pi\). A meno che io non abbia commesso errori già nel calcolo dell'integrale, penso sia probabile un errore nel cacolo dell'intervallo di \(\rho\). In caso fosse così, potresti mostrarmi come va calcolato?
Integrando in x trovo \(1/2[(2-y^2-z^2)-(y^2+z^2-2)^2]\), a questo punto passo in coordinate polari e ho
\(1/2\int\rho [(2-\rho^2)-(\rho ^2-2)^2] d\rho d\vartheta\) con \(1\leq \rho \leq \sqrt{2} ,0\leq \vartheta \leq 2\pi\). A meno che io non abbia commesso errori già nel calcolo dell'integrale, penso sia probabile un errore nel cacolo dell'intervallo di \(\rho\). In caso fosse così, potresti mostrarmi come va calcolato?
L'integrale in $x$ è corretto. Sì, è sbagliata la condizione su $\rho$: però, risolvere le disequazioni è un prerequisito dei corsi di analisi e quindi non te la do vinta così facilmente ossia, non te la risolvo io. Ma ti aiuto. Quindi, se mi fai vedere che calcoli hai fatto per risolvere la disequazione, individuiamo insieme l'errore e me la risolvi per bene.
ossia, non te la risolvo io. Ma ti aiuto. Quindi, se mi fai vedere che calcoli hai fatto per risolvere la disequazione, individuiamo insieme l'errore e me la risolvi per bene.
Ho rifatto i calcoli e con 0<=rho<=1 ci siamo finalmente Grazie come sempre, molto gentile!
Grazie come sempre, molto gentile!
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