Un altro integrale difficile

[fanzhendong72]

Questo integrale mi ha dato seri problemi, ho provato a risolverlo per parti ma è una follia i calcoli sono troppo lunghi e difficili, non credo si debba risolvere così.
$intarccos(7x^2-sqrt(49x^4-50x^2+1))dx$
Lo passo a voi esperti

[fanzhendong72]

@pilloeffe che ne pensi, riesci ad aiutarmi anche sta volta?

[gugo82]

Ma da dove li stai prendendo?

[dissonance]

Per sbaglio ho risposto nell'altro topic. Come dicevo lì, questo è meno interessante. Piuttosto che calcolare primitive, cerca di calcolare integrali definiti, a mio avviso.

[fanzhendong72]

Questo è abbastanza interessante, non ho mai visto una cosa del genere. Però questo è nulla in confronto all'esercizio facoltativo del mio esame di analisi 1 che ho dato ieri. Preparatevi perché è un assoluto mostro.

P.s. il primo 30 in analisi, spero non sia l'unico.

[dissonance]

Complimenti per il 30! E adesso sono curioso di vedere questo mostro bruttissimo.

[fanzhendong72]

Ecco il mostro
$int_(-1/3)^(1/3) sqrt(36 x^4-40x^2+4) cosh(3 x + tanh^(-1)(3x) - tanh^(-1)( x)) dx $
Nota: il risultato deve essere $\frac { 12+4 e ^{ 2 } }{ 9e }$

[fanzhendong72]

Per quanto possano sembrare assurdi gli integrali proposti negli esami, hanno sempre una risoluzione scorrevole senza calcoli complicati e tediosi. Tra l'altro non credo che ci sia bisogno di usare la tecnica di Leibniz di derivazione sotto il segno di integrale, resa famosa da Feynman che ne fece un uso frequente. Sicuramente la seconda funzione ha una famiglia di primitive esprimibili tramite funzioni elementari.
p.s penso di aver trovato la soluzione del primo

[Mephlip]

Non vorrei dire un'eresia totale, ma sono incappato tempo fa in integrali simili ed erano semplicemente modi assurdi di scrivere delle costanti. Infatti se non ho sbagliato i conti con la trigonometria, quella funzione integranda è equivalente a $\pi$; perciò $F(x)=\pi x +c$.

[Mephlip]

Non so se i grafici sono riferiti al secondo, io mi riferivo a quello con l'arcocoseno! Comunque potrei aver sbagliato però controllando con Integral Calculator mi conferma che una primitiva è $F(x)=\pi x + c$. Sbaglio? Potreste controllare anche voi per favore se avete tempo?

[Edit: corrette delle lettere sbagliate].

[fanzhendong72]

Per quanto riguarda il primo si può usare l'identità dell'arcocoseno:
$arccosx pm arccosy =arccos(xy mp sqrt((1-x^2)(1-y^2)))$
Quindi si può riscrivere come $arccos(7x)-arccos(x)$

[fanzhendong72]

Ecco la mia soluzione del primo:
$intarccos(7x^2-sqrt(49x^4-50x^2+1))dx$ = $intarccos(7x)-arccos(x)dx$ =$x\arccos\left(7x\right)-x\arccos\left(x\right)+\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt{1-49x^2}}{7}+C$
Mi pare molto più semplice, concisa e veloce questa soluzione.