Un aiuto sulle serie di laurent
Dovrei sviluppare in serie di laurent questa parte di una funzione:
$ (z+1) / (z^(2) + 1 ) $
mi sembra di averla già incontrata come somma di una qualche serie ma vorrei che qualcuno mi illustrasse una sequenza di passaggi per arrivare alla soluzione.
Lo sviluppo va fatto in |z|>1 e se avete tempo anche in |z-i|<1
Grazie in anticipo!
$ (z+1) / (z^(2) + 1 ) $
mi sembra di averla già incontrata come somma di una qualche serie ma vorrei che qualcuno mi illustrasse una sequenza di passaggi per arrivare alla soluzione.
Lo sviluppo va fatto in |z|>1 e se avete tempo anche in |z-i|<1
Grazie in anticipo!
Risposte
Per |z| > 1 io ho una mezza idea e la scrivo, ma aspetterei i più esperti per una conferma..
la funzione considerata è olomorfa in C - {j, -j} , per tanto è possibile svilupparla in serie di Laurent nell'insieme |z|>1.
Decomponendo in fratti semplici la funzione si ha:
$\frac{z+1}{z^2 +1} = \frac{1}{2}\frac{1+j}{z+j} + \frac{1}{2} \frac{1-j}{z-j}$
Per il primo addendo mi sembra lecito procedere così:
moltiplico e divido per j, al denominatore metto in evidenza jz:
$ \frac{1}{2}\frac{j(1+j)}{jz-1} = \frac{j(1+j)}{2jz}\frac{1}{1-\frac{1}{jz}}$
per $|jz| > 1$ ovvero |z| > 1 risulta: $\frac{1}{1-\frac{1}{jz}} = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{jz})^n$
Per il secondo addendo:
metto in evidenza z al denominatore e ottengo, per $|\frac{j}{z}| < 1 $ ovvero per $ |z|>|j|=1$:
$\frac{1-j}{2(z-j)} = \frac{1-j}{2z} \frac{1}{1-\frac{j}{z}} = \frac{1-j}{2z} \sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{j}{z})^n = \frac{1-j}{2} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{j^n}{z^{n+1}}$
la funzione considerata è olomorfa in C - {j, -j} , per tanto è possibile svilupparla in serie di Laurent nell'insieme |z|>1.
Decomponendo in fratti semplici la funzione si ha:
$\frac{z+1}{z^2 +1} = \frac{1}{2}\frac{1+j}{z+j} + \frac{1}{2} \frac{1-j}{z-j}$
Per il primo addendo mi sembra lecito procedere così:
moltiplico e divido per j, al denominatore metto in evidenza jz:
$ \frac{1}{2}\frac{j(1+j)}{jz-1} = \frac{j(1+j)}{2jz}\frac{1}{1-\frac{1}{jz}}$
per $|jz| > 1$ ovvero |z| > 1 risulta: $\frac{1}{1-\frac{1}{jz}} = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{jz})^n$
Per il secondo addendo:
metto in evidenza z al denominatore e ottengo, per $|\frac{j}{z}| < 1 $ ovvero per $ |z|>|j|=1$:
$\frac{1-j}{2(z-j)} = \frac{1-j}{2z} \frac{1}{1-\frac{j}{z}} = \frac{1-j}{2z} \sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{j}{z})^n = \frac{1-j}{2} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{j^n}{z^{n+1}}$
Quindi devo procedere normalmente scomponendo il tutto in fratti semplici!
Il fatto è che a me sembra la somma di una serie nota, o ricavabile tramite il teorema di derivazione per serie.
il risultato che hai scritto sembra coerente e corretto, provo a controllarlo calcolando i termini della serie con l'integrale per il calcolo dei coefficienti della serie di Laurent.
Se qualcuno però conosce altri metodi ben vengano
.
Ah un'altra cosa che potrebbe tornarmi utile:
ricordo che esiste un modo per calcolare le derivate n-esime delle funzioni senza per forza derivare, qualcuno sa ricordarmi come si fa e magari postare un esempio?
Il fatto è che a me sembra la somma di una serie nota, o ricavabile tramite il teorema di derivazione per serie.
il risultato che hai scritto sembra coerente e corretto, provo a controllarlo calcolando i termini della serie con l'integrale per il calcolo dei coefficienti della serie di Laurent.
Se qualcuno però conosce altri metodi ben vengano
.Ah un'altra cosa che potrebbe tornarmi utile:
ricordo che esiste un modo per calcolare le derivate n-esime delle funzioni senza per forza derivare, qualcuno sa ricordarmi come si fa e magari postare un esempio?
non so aiutarti sulla formula che cerchi, ma ho riflettuto un po' sullo sviluppo in |z-j|<1.
credo sia lecito calcolare i coefficienti mediante il calcolo dei residui.. ma anche qui attendo conferme più autorevoli:
f(z) = $\frac{z+1}{z^2+1}$ è olomorfa nel "cerchio bucato" 0<|z-j|<1, quindi i coefficienti dello sviluppo di Laurent si possono calcolare integrando su una arbitraria circonferenza (chiamiamola ad es. $\gamma$) interna a tale insieme e risulta:
$c_n = \frac{1}{2 \pi j} \int_{\gamma }^{.} \frac{f(z)}{(z-j)^{n+1}} dz = \frac{1}{2 \pi j} \int_{\gamma }^{.} \frac{z+1}{(z+j)(z-j)^{n+2}} dz = R[j] = [\frac{1}{(n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \frac{z+1}{z+j} ]_{z=j}$
credo sia lecito calcolare i coefficienti mediante il calcolo dei residui.. ma anche qui attendo conferme più autorevoli:
f(z) = $\frac{z+1}{z^2+1}$ è olomorfa nel "cerchio bucato" 0<|z-j|<1, quindi i coefficienti dello sviluppo di Laurent si possono calcolare integrando su una arbitraria circonferenza (chiamiamola ad es. $\gamma$) interna a tale insieme e risulta:
$c_n = \frac{1}{2 \pi j} \int_{\gamma }^{.} \frac{f(z)}{(z-j)^{n+1}} dz = \frac{1}{2 \pi j} \int_{\gamma }^{.} \frac{z+1}{(z+j)(z-j)^{n+2}} dz = R[j] = [\frac{1}{(n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \frac{z+1}{z+j} ]_{z=j}$
"eliotsbowe":
Per |z| > 1 io ho una mezza idea e la scrivo, ma aspetterei i più esperti per una conferma..
la funzione considerata è olomorfa in C - {j, -j} , per tanto è possibile svilupparla in serie di Laurent nell'insieme |z|>1.
Decomponendo in fratti semplici la funzione si ha:
$\frac{z+1}{z^2 +1} = \frac{1}{2}\frac{1+j}{z+j} + \frac{1}{2} \frac{1-j}{z-j}$
Per il primo addendo mi sembra lecito procedere così:
moltiplico e divido per j, al denominatore metto in evidenza jz:
$ \frac{1}{2}\frac{j(1+j)}{jz-1} = \frac{j(1+j)}{2jz}\frac{1}{1-\frac{1}{jz}}$
per $|jz| > 1$ ovvero |z| > 1 risulta: $\frac{1}{1-\frac{1}{jz}} = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{jz})^n$
Per il secondo addendo:
metto in evidenza z al denominatore e ottengo, per $|\frac{j}{z}| < 1 $ ovvero per $ |z|>|j|=1$:
$\frac{1-j}{2(z-j)} = \frac{1-j}{2z} \frac{1}{1-\frac{j}{z}} = \frac{1-j}{2z} \sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{j}{z})^n = \frac{1-j}{2} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{j^n}{z^{n+1}}$
Nella soluzione del primo addendo non manca a moltiplicare il termine $\frac{j(1+j)}{2jz}$ ???
poi un' altra cosa, per vedere se una funzione è olomorfa o analitica cosa devo controllare?
Inoltre il metodo con il calcolo dell'integrale non potevo usarlo anche nel dominio $|z|>1$.
Scusate le troppe domande ma il 25 ho l'esame di analisi e devo assolutamente superarlo per laurearmi a luglio
per $ | z| <1$
$ (z+1)/(z^2+1)= z/(z^2+1)+1/(z^2+1)=$ (utilizza lo sviluppo di Taylor :$1/(1+z)=1-z+z^2-z^3+z^4...$ )
$=(z+1)/(1+(z^2))=(1-z^2+z^4-z^6+z^8)(z+1)=z-z^3+z^5-z^7+z^8...........+1-z^2+z^4-z^6....$
$=sum_( k=0 )^( k= \infty) z^(2k+1)(-1)^k+ sum_( k =0 )^(k =\infty )z^(2k)(-1)^k$
per $ | z|>1$
$(z+1)/((z^2)(1+1/z^2))=(z+1)/z^2*1/(1+1/z^2)=(1/z+1/z^2)*1/(1+1/z^2)=(1/z+1/z^2) (1-1/z^2+1/z^4-1/z^6+...)$ e fai la sommatoria
$ (z+1)/(z^2+1)= z/(z^2+1)+1/(z^2+1)=$ (utilizza lo sviluppo di Taylor :$1/(1+z)=1-z+z^2-z^3+z^4...$ )
$=(z+1)/(1+(z^2))=(1-z^2+z^4-z^6+z^8)(z+1)=z-z^3+z^5-z^7+z^8...........+1-z^2+z^4-z^6....$
$=sum_( k=0 )^( k= \infty) z^(2k+1)(-1)^k+ sum_( k =0 )^(k =\infty )z^(2k)(-1)^k$
per $ | z|>1$
$(z+1)/((z^2)(1+1/z^2))=(z+1)/z^2*1/(1+1/z^2)=(1/z+1/z^2)*1/(1+1/z^2)=(1/z+1/z^2) (1-1/z^2+1/z^4-1/z^6+...)$ e fai la sommatoria
"mithrandirxxx":
[quote="eliotsbowe"]Per |z| > 1 io ho una mezza idea e la scrivo, ma aspetterei i più esperti per una conferma..
la funzione considerata è olomorfa in C - {j, -j} , per tanto è possibile svilupparla in serie di Laurent nell'insieme |z|>1.
Decomponendo in fratti semplici la funzione si ha:
$\frac{z+1}{z^2 +1} = \frac{1}{2}\frac{1+j}{z+j} + \frac{1}{2} \frac{1-j}{z-j}$
Per il primo addendo mi sembra lecito procedere così:
moltiplico e divido per j, al denominatore metto in evidenza jz:
$ \frac{1}{2}\frac{j(1+j)}{jz-1} = \frac{j(1+j)}{2jz}\frac{1}{1-\frac{1}{jz}}$
per $|jz| > 1$ ovvero |z| > 1 risulta: $\frac{1}{1-\frac{1}{jz}} = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{jz})^n$
Per il secondo addendo:
metto in evidenza z al denominatore e ottengo, per $|\frac{j}{z}| < 1 $ ovvero per $ |z|>|j|=1$:
$\frac{1-j}{2(z-j)} = \frac{1-j}{2z} \frac{1}{1-\frac{j}{z}} = \frac{1-j}{2z} \sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{j}{z})^n = \frac{1-j}{2} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{j^n}{z^{n+1}}$
Nella soluzione del primo addendo non manca a moltiplicare il termine $\frac{j(1+j)}{2jz}$ ???
poi un' altra cosa, per vedere se una funzione è olomorfa o analitica cosa devo controllare?
Inoltre il metodo con il calcolo dell'integrale non potevo usarlo anche nel dominio $|z|>1$.
Scusate le troppe domande ma il 25 ho l'esame di analisi e devo assolutamente superarlo per laurearmi a luglio
[/quote]Sì, alla fine devi sostituire la serie in luogo della sua somma e moltiplicare per $\frac{j(1+j)}{2jz}$ , ma pensavo fosse scontato.. alla fine il passaggio cruciale dell'esercizio consiste nello scrivere la serie
Riguardo ai coefficienti: una volta stabilito l'insieme in cui f è somma di una serie bilatera di potenze, penso che i coefficienti di tale serie siano sempre dati da quella formula con l'integrale, il che non esclude che tu, avendo a disposizione certe ipotesi (l'insieme in cui devi calcolare lo sviluppo, come è fatta la funzione) possa evitare il calcolo dell'integrale e ricorrere a vie più facili per calcolare la serie di Laurent desiderata.
Il mio modo di spiegare è abbastanza grossolano perchè sono uno studente come te, oltretutto di ingegneria, quindi aspetterei sempre qualche conferma dai più esperti!
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