Un aiuto sulle equazioni differenziali a variabili separabil

[Sk_Anonymous]

Ciao, a breve avrò l'esame di Analisi 1 e vorrei capire bene come si ragiona per risolvere i seguenti esercizi. Il procedimento generale che consiste nella separazione delle variabili mi è chiaro, però non mi sono chiare alcune sottigliezze del procedimento. Per esempio, devo risolvere il seguente problema di Cauchy:

$y'=-y/t+1/t$
$y(1)=2$

Separando le variabili, ottengo $int(dt/t)=-int(-dy/(1-y))$. Integrando ambo i membri, ho:
$log|t|+C=-log|1-y|+C.
1) Come devo comportarmi con le costanti? Ne devo scrivere una sola oppure ne devo scrivere 2 come ho fatto sopra?
2) Come faccio a ricavare la y? (So che devo uguagliare gli argomenti dei valori assoluti, ma non so se devo lasciare i valori assoluti). Insomma, mi perdo in queste "sciocchezze". Qualcuno può aiutarmi? Non ho mai risolto equazioni differenziali in vita mia, o, più precisamente, ne ho risolte pochissime. Grazie mille.

[frab1]

la condizione di cauchy devi usarla per avere 2 integrali definiti!non avrai costanti..

nel tuo esempio:

$-int_(2)^(f(x))(-dy/(1-y))=int_(1)^(x) (dt/t)$ cosi sfrutti Cauchy e non ti escono costanti ok?

[Sk_Anonymous]

"frab":la condizione di cauchy devi usarla per avere 2 integrali definiti!non avrai costanti..

nel tuo esempio:

$-int_(2)^(f(x))(-dy/(1-y))=int_(1)^(x) (dt/t)$ cosi sfrutti Cauchy e non ti escono costanti ok?

No, non mi è chiaro.

[frab1]

Con cauchy la funzione in x la integri tra la $x_(0)$ della condizione di cauchy e la x generica mentre la funz in y la integri tra la $y_(0)$ della condizione di cauchy e la f(x) generica avrai 2 integrali definiti che coincidono molto spesso Ai rispettivi integrali indefiniti..quindi niente costanti...

[dissonance]

"frab":avrai 2 integrali definiti che coincidono molto spesso Ai rispettivi integrali indefiniti..quindi niente costanti...

Non "molto spesso", direi "sempre", a meno di una costante! Perché si usa il simbolo di integrale, per l'integrale indefinito? Perché

$int f(x) dx= int_{x_0}^x f(xi) d xi +C$.

[gugo82]

Questi sono i problemi causati dagli oranghi...

Il metodo corretto è questo: la tua funzione ha da soddisfare [tex]$y^\prime (t) =\tfrac{1}{t}\ [1-y(t)]$[/tex] intorno a [tex]$1$[/tex]; il teorema d'esistenza ed unicità ti assicura che, almeno intorno a [tex]$1$[/tex] tale funzione esiste ed è di classe [tex]$C^1$[/tex]; visto che [tex]$y(1)=2$[/tex], per permanenza del segno è [tex]$y(t)>1$[/tex] intorno a [tex]$1$[/tex], quindi [tex]$1-y(t)<0$[/tex]; inoltre [tex]$y^\prime (1)=1-2=-1$[/tex], quindi la tua funzione è strettamente decrescente e perciò invertibile intorno a [tex]$1$[/tex]; separando le variabili scriviamo:

[tex]$\frac{y^\prime (t)}{1-y (t)}=\frac{1}{t}$[/tex]

uguaglianza valida intorno a [tex]$1$[/tex]; integrando con punto iniziale [tex]$1$[/tex] risulta:

[tex]$\int_1^t \frac{y^\prime (\tau)}{1-y(\tau )}\ \text{d} \tau = \int_1^t \frac{1}{\tau}\ \text{d} \tau$[/tex]

uguaglianza valida intorno a [tex]$1$[/tex]; la provata regolarità di [tex]$y(t)$[/tex] consente di fare la sostituzione [tex]$\sigma =y(\tau)$[/tex] nel primo membro, di modo che la precedente si scrive:

[tex]$\int_{y(1)}^{y(t)} \frac{1}{1-\sigma}\ \text{d} \sigma =\int_1^t \frac{1}{\tau}\ \text{d} \tau$[/tex]

ossia:

[tex]$\int_{2}^{y(t)} \frac{1}{1-\sigma}\ \text{d} \sigma =\ln t$[/tex]

valida intorno a [tex]$1$[/tex]; integrando il primo membro e tenendo presente che [tex]$1-y(t) <0$[/tex] per [tex]$t$[/tex] intorno a [tex]$1$[/tex] dall'ultima uguaglianza segue:

[tex]$\ln \frac{1}{y(t)-1}=\ln t$[/tex]

quindi [tex]$y(t)=\tfrac{1}{t} +1$[/tex].

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie ad entrambi. Ho un altro dubbio. Dopo aver svolto dei calcoli, la soluzione generale di un'equazione differenziale è: $y=+-sqrt(t^2+c)$. Sapendo che la condizione iniziale è $y(0)=-1$, secondo quale criterio devo scegliere quale segno mettere davanti alla radice? Grazie.

[gugo82]

Indovina!?!

La [tex]$\sqrt{\cdot}$[/tex] è una funzione nonnegativa; tu, come condizione iniziale, vuoi che [tex]$y(t)$[/tex] assuma un valore negativo, quindi...

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Indovina!?!

La [tex]$\sqrt{\cdot}$[/tex] è una funzione nonnegativa; tu, come condizione iniziale, vuoi che [tex]$y(t)$[/tex] assuma un valore negativo, quindi...

Negativo. Ok, capito.

[poncelet]

"gugo82":Questi sono i problemi causati dagli oranghi...

In che senso?

[gugo82]

"maxsiviero":[quote="gugo82"]Questi sono i problemi causati dagli oranghi...

In che senso?[/quote]
Nel senso di FP.

[poncelet]

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