Un aiuto successione

[ea2]

ciao ho capito bene cosa sono le successioni a livello teorico pero poi nella pratica mi ritrovo in difficoltà soprattutto con quelle definite per ricorrenza. mi potete spiegare bene quali sono le cose da controllare in ordine? io di solito faccio monotonia, limitatezza e poi se per caso non c'è nessuna di queste proprieta sono bloccato o in generale non riesco a concludere mai niente. ho letto i post sugli studi di funzione integrale e mi sono serviti tanto. riuscite a farmi uno schemino riassuntivo delle proprietà?grazie.
vi posto inoltre un esempio di esercizio: ${(a(n+1)=int_0^{(a(n))/2} (1/(t^3+arctan t+1))dt + |sin ((a(n))/4)|),( a(1)=3):}$ io sono fermo. so solo che quel $+|sin ((a(n))/4)|$ probabilmente mi aiuterà nelle maggiorazioni. per piacere NON svolgetelo voi. datemi un input oppure se avete gia scritto qualcosa per la richiesta di prima intanto provo con quelle indicazioni. grazie infinite.

[alberto861]

dunque l'integrale è a termini positivi e quindi anche tutti gli $a(n)$ e vale $t^3+arctant+1>1$ e $sen(x) per cui la funzione integranda è minore di $1$ e quindi valgono le stime $a(n+1)<\frac{a(n)}{2}+\frac{a(n)}{4}$ per cui $a(n+1)<\frac{3a(n)}{4}=...(\frac{3}{4})^n a(1)=3 (\frac{3}{4})^n ->0$ per $n -> \infty$..premetto che sull'argomento non sono molto preparato ma questo mi sembra abbastanza convincente

[ea2]

grazie. non per essere pesante ma a me piu che l'esercizio mi interessa il modo per risolvere le successioni in generale.

[alberto861]

che io sappia, e non tanto, un "algoritmo" per risolvere di queste cose (come spesso richiede qualcuno che affronta il problema ancora in modo liceale quando la prof imbocca passo passo altrimenti l'alunno rischia di pensaer da solo e allora la tragedia) non credo esista..tuttavia ci sono delle linee guida e quella che io seguo è: "se il/la prof ha spiegato un argomento (e relativi teoremi) e ha dato esercizi in merito devo collegare l'esercizio con qualche teorema svolto"..per le successioni hai (pochi ma buoni) criteri di convergenza e la tua bravura sta nel'indirizzare l'esercizio verso le ipotesi di qualche criterio che puoi applicare per concludere qualcosa a meno che tu non riesca ad inventarti qualche altro criterio o qualche altra strada

[ea2]

ok allora senti ne provo a fare una facile. ho questa successione ${\(a(n+1) = ((a(n))^2+2a(n)+9)/(a(n)+2)) , (a(1) = 4) :}$
per prima cosa ho dimostrato per induzione che $a(n)>n$ per tutti gli $n>4$ poi ho fatto il rapporto $(a(n+1))/(a(n))$e visto che è $>1$ ho concluso che è crescente. per il limite ho visto che se $n->infty$ allora $a(n)->infty$ quindi maggiorando con $(n^2+2n+9)/(n+2)$ posso trovare il limite che è infinto.
se ho sbagliato fatemelo sapere. e se invece non ho sbagliato ditemi se basta ttutto quello che ho detto per definire la natura della successione.