Un aiuto su un limite difficile

[Acciai]

op

[Zero87]

Benvenuto al forum e buona permanenza.

Raccogliendo un bel $cos(x)$ che, tra l'altro, in un intorno di zero non si annulla, abbiamo come argomento
$(1-tan(x))^((5-x)/(tan(x)))= ((1-tan(x))^(1/tan(x)))^(5-x)$
quest'ultima per una ben nota proprietà delle potenze $a^(xy)=(a^x)^y=(a^y)^x$.

Tuttavia, se porti la tangente al denominatore, hai una forma piuttosto familiare
$lim_(x->0) ((1-\frac{1}{1/(tan(x))})^(1/tan(x)))^(5-x)$
se vuoi, puoi anche cambiare variabile e porre $1/tan(x)=cot(x)=t$, ma non è obbligatorio: ti aiuterebbe solo a visualizzare la situazione ma se la riconosci così meglio.

[Acciai]

**

[Zero87]

"Acciai":grazie tantissime!... ma poi mi resta
$(cosx)^((5-x)/(tgx))$.... cioè 1 alla infinito....

Mamma mia che epic fail! Ho tolto di mezzo quel coseno dimenticandomi della sua esistenza!

Comunque, dopo questa figuraccia e una bella doccia, sapendo che $x->0$, avvalendomi di
$lim_(x->0) sin(x)/x=1$
posso porre $sin(x)=x$ e $cos(x)=\sqrt(1-x^2)$.

Ottengo come argomento
$((\sqrt(1-x^2))^(cos(x)/sin(x)))^(5-x)=((1-x^2)^(1/(2x)))^(cos(x)(5-x))$
e infine
$((1-x^2)^(1/(x^2)))^(2xcos(x)(5-x))$
che se non ho preso un'altra volta farfalle dovrebbe tendere a qualcosa del tipo $(1/e)^0$ che comunque esiste finito.

Nonostante la svista, comunque, ho scomposto quel limite nel prodotto di due limiti che non sono più forme indeterminate e che, singolarmente, esistono finiti. Diciamo che sono riuscito a fare appello al "se i limiti esistono finiti il limite del prodotto è il prodotto dei limiti".

Tutto bene quel che finisce bene (spero).

Ovviamente mi sono incartato a bestia quando nell'altro post ero convinto di aver risolto tutto all'acqua di rose, ma aspetta altre risposte perché non mi stupirei se ci fosse un metodo più semplice di risolvere la questione.

[Acciai]

Grazie tante... io nn ci sarei mai arrivata... qualcuno ha una soluzione più semplice alla mia portata?

[Zero87]

"Acciai":Grazie tante... io nn ci sarei mai arrivata... qualcuno ha una soluzione più semplice alla mia portata?

Di nulla e mi sembra strano che non ci sia una soluzione più semplice...
[size=80]... piuttosto riporta? [/size]