Un aiuto nel comprendere questa sostituzione, integrale dxdydz
La consegna mi dice di integrare
$e^y sqrt(x^2 − z^2) $ con $A={0 ≤ z ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x^3}$
Ho usato le restrizioni
$0<=y<=x^3$
$0<=z<=x$
$0<=x<=1$
e poi ho usato la sostituzione dopo aver prima integrato su y (prima restrizione) $z=sint$, $dz=xcost dt$
Però mi sono bloccata a un certo punto perché applicando questa sostituzione dovrei avere $\int_0^arcsin(z/x)x*cost dt$ così vadoa vedere la soluzione.
E il testo di risoluzione scrive:
Perché da 0 a pi/2, e perché x e cosx al quadrato?
Mannaggia a 'sta analisi 2, non accederò mai all'orale che so molto meglio
Troppi troppi errori!
(scusate lo sfogo)
$e^y sqrt(x^2 − z^2) $ con $A={0 ≤ z ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x^3}$
Ho usato le restrizioni
$0<=y<=x^3$
$0<=z<=x$
$0<=x<=1$
e poi ho usato la sostituzione dopo aver prima integrato su y (prima restrizione) $z=sint$, $dz=xcost dt$
Però mi sono bloccata a un certo punto perché applicando questa sostituzione dovrei avere $\int_0^arcsin(z/x)x*cost dt$ così vadoa vedere la soluzione.
E il testo di risoluzione scrive:
Perché da 0 a pi/2, e perché x e cosx al quadrato?
Mannaggia a 'sta analisi 2, non accederò mai all'orale che so molto meglio
Troppi troppi errori!(scusate lo sfogo)
Risposte
Beh se la sostituzione è
allora la primitiva diventa
$z=x*sin(t)$
$=>text(d)z=x cos(t)text(d)t$
allora la primitiva diventa
$int sqrt(x^2+z^2)text(d)z=int sqrt(x^2(1-sin^2(t))) * x cos(t) text(d)t=int |x cos(t)| * x cos(t) \text(d)t=int x^2 cos^2(t) \text(d)t$
Oddio è vero non l'ho inserito nella sostituzione. Faccio tutti errori così sciocchi! Non riuscivo a scovarlo.
E invece per gli estremi di integrazione?
Grazie per l'aiuto
E invece per gli estremi di integrazione?
Grazie per l'aiuto
Ciao saretta:),
Ora, a parte il fatto che nella risoluzione riportata manca un $dx $ dopo il riquadro verde, in pratica ti stai chiedendo come mai se $z = x sin t $ si ha:
$\int_0^x sqrt{x^2 - z^2} dz = x^2 \int_0^{\pi/2} cos^2 t dt $
Innanzitutto osserverei che, visto che integri rispetto a $z $, $x$ si comporta come una costante, per cui si ha:
$\int_0^x sqrt{x^2 - z^2} dz = x \int_0^x sqrt{1 - (z/x)^2} dz $
Posto astutamente $sin t := z/x \implies z = x sin t \implies dz = x cos t dt $, è chiaro che se $0 \le z \le x \implies 0 \le z/x \le 1 \implies 0 \le sin t \le 1 \implies 0 \le t \le \pi/2 $ e quindi si ha:
$\int_0^x sqrt{x^2 - z^2} dz = x \int_0^x sqrt{1 - (z/x)^2} dz = x \int_0^{\pi/2} cos t \cdot x cost dt = x^2 \int_0^{\pi/2} cos^2t dt $
Ora, a parte il fatto che nella risoluzione riportata manca un $dx $ dopo il riquadro verde, in pratica ti stai chiedendo come mai se $z = x sin t $ si ha:
$\int_0^x sqrt{x^2 - z^2} dz = x^2 \int_0^{\pi/2} cos^2 t dt $
Innanzitutto osserverei che, visto che integri rispetto a $z $, $x$ si comporta come una costante, per cui si ha:
$\int_0^x sqrt{x^2 - z^2} dz = x \int_0^x sqrt{1 - (z/x)^2} dz $
Posto astutamente $sin t := z/x \implies z = x sin t \implies dz = x cos t dt $, è chiaro che se $0 \le z \le x \implies 0 \le z/x \le 1 \implies 0 \le sin t \le 1 \implies 0 \le t \le \pi/2 $ e quindi si ha:
$\int_0^x sqrt{x^2 - z^2} dz = x \int_0^x sqrt{1 - (z/x)^2} dz = x \int_0^{\pi/2} cos t \cdot x cost dt = x^2 \int_0^{\pi/2} cos^2t dt $
"pilloeffe":
Ora, a parte il fatto che nella risoluzione riportata manca un $dx $
Si ho notato
, pensare che l'ultimo appello non superato mi han tolto 2 punti per questa cosa. Giusto quelli che mancavano al 18! Argh. E ora me lo trovo nelle soluzioni Ad ogni modo grazie, perchè mi ero proprio bloccata, applicavo pedissequamente la sostituzione e trovavo gli estremi complessi poi da risolvere arcsin(z/x) e non arrivavo a nulla. Non credo ci avrei mai fatto caso a questo "trucchetto". Soprattutto con la pressione dell'esame. Sono abbastanza triste
Siete stati molto gentili, grazie!
"saretta:)":
Perché da 0 a pi/2, e perché x e cosx al quadrato?
Mannaggia a 'sta analisi 2
Ma questa è Analisi I...
Sì ma non mi era mai capitato nei vari esercizi di fare il trucchetto proprosto, io avrei scritto arcsin e stop
Poi in realtà le sto preparando assieme perché venendo dal classico e non essendo molto brava analisi 1 non l'ho passata e ora sto cercando di imparare il più possibile seguendo entrambe.
Di teoria ne so un pochino di più, negli esercizi pecco ancora alle volte trovando lacune e facendo errori stupidissimi, come il quadrato di cui sopra che sapevo ma avevo sbagliato ad eseguire.
Poi in realtà le sto preparando assieme perché venendo dal classico e non essendo molto brava analisi 1 non l'ho passata e ora sto cercando di imparare il più possibile seguendo entrambe.
Di teoria ne so un pochino di più, negli esercizi pecco ancora alle volte trovando lacune e facendo errori stupidissimi, come il quadrato di cui sopra che sapevo ma avevo sbagliato ad eseguire.
"saretta:)":
Poi in realtà le sto preparando assieme perché venendo dal classico e non essendo molto brava analisi 1 non l'ho passata[...]
Benvenuta nel club!
Sono contenta che ci siano altri amici che si sono rotti o si stanno rompendo la testa nel mio stesso modo
Sono stati mesi molto duri, certe volte ho pensato di cedere. 12 ore al giorno sono provanti, ma più che altro per l'ansia che si è ingenerata: studi studi e prendi 17 wow
Eppure ero convinta di aver capito!
Si ricomincia si riprende daccapo, dalla prima liceo e si divorano libri, esercizi, ma non basta mai... è affascinante quanto sia vasta. Chissà se darà i suoi frutti, ammetto di aver perso un po' le speranze.
Ma il problema più grave per me sono gli esercizi perché sbaglio tantissimo cose stupide, segni, derivate dove dimentico una costante -3 punti, ciao!
Differenziali in alcuni integrali della scorsa prova -2 punto ciao!
Ecc..
Però sono contenta, nel mio piccolo, sono arrivata non sapendo risolvere una disequazione di secondo grado... mai visto un limite serio, ora inizio a destreggiarmi sui concetti. Devo ancora affinare molto, ci spero
Sono stati mesi molto duri, certe volte ho pensato di cedere. 12 ore al giorno sono provanti, ma più che altro per l'ansia che si è ingenerata: studi studi e prendi 17 wow
Eppure ero convinta di aver capito!
Si ricomincia si riprende daccapo, dalla prima liceo e si divorano libri, esercizi, ma non basta mai... è affascinante quanto sia vasta. Chissà se darà i suoi frutti, ammetto di aver perso un po' le speranze.
Ma il problema più grave per me sono gli esercizi perché sbaglio tantissimo cose stupide, segni, derivate dove dimentico una costante -3 punti, ciao!
Differenziali in alcuni integrali della scorsa prova -2 punto ciao!
Ecc..
Però sono contenta, nel mio piccolo, sono arrivata non sapendo risolvere una disequazione di secondo grado... mai visto un limite serio, ora inizio a destreggiarmi sui concetti. Devo ancora affinare molto, ci spero
"saretta:)":
pensare che l'ultimo appello non superato mi han tolto 2 punti per questa cosa.
Mah, questo mi pare un po' eccessivo: si capisce che è una distrazione e può capitare a tutti, anche al docente come si è visto... Potresti segnalargli che ha commesso lo stesso errore anche nelle sue dispense, così magari la prossima volta te li accredita...
"saretta:)":
Ad ogni modo grazie
Prego!
"saretta:)":
Sono abbastanza triste
Non devi abbatterti, anche mio padre ha fatto il liceo classico e ad Analisi I gli avevano caldamente consigliato di non proseguire gli studi in ingegneria elettrotecnica: si è laureato e dopo una notevole carriera è andato in pensione come Direttore Generale di un'importante azienda... Questo la dice lunga sulla "lungimiranza" di alcuni docenti universitari.
Potrei raccontarti aneddoti anche sul mio caso, anche se provengo dal liceo scientifico...
Grazie per il racconto, fa un po' bene al morale :')
Più che altro sarebbe bello vedere un minimo gli sforzi ripagati dopo un anno reclusa, ma se non lo merito continuerò a sbatterci al testa. Prima o poi qualcosa ne uscirà, spero.
Davvero grazie
Più che altro sarebbe bello vedere un minimo gli sforzi ripagati dopo un anno reclusa, ma se non lo merito continuerò a sbatterci al testa. Prima o poi qualcosa ne uscirà, spero.
Davvero grazie
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